Kurvendiskussion Parabel mit Wendepunkt - Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen

Question

8. Parabel 3.Grades schneidet die y-Achse bei -4, hat einen Wendepunkt auf der x-Achse bei x=1. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse verläuft parallel zur Geraden y=3x+2. Gleichung ?

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Aus Duplikatsfrage von Mitglied daerias:

Ich rechne versuche gerade eine Aufgabe zu lösen, mir fehlt nur ein Ansatz:

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Fkt. 3. Grades, deren Funktionsgraph die y-Achse bei y=-4 und deren WP auf der x-Achse bei x=1 liegt. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse verläuft parallel zu der Geraden mit der Funktionsgleichung y-3x=2.

Mir ist es nicht wirklich klar was ich mit y-3x=2 anfangen kann!

Könnte mir jemand dies erklären? Wäre mega dankbar!

Comments

ich weiß es gibt hier bereits eine ähnliche Aufgabe! Ich verstehe den Ausdruck y-3x=2 trotzdem nicht.

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Wir können diesen ja umformen

y - 3x = 2
y = 3x + 2

Das ist eine lineare Funktion mit der Steigung 3. Wenn die Tangente die Steigung 3 hat muss der Graph der Funktion im Tangentenberührpunkt auch die Steigung 3 haben.

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danke erstmal :) aber was kann ich denn damit genau anfangen?

Answer 1

8. Parabel 3.Grades schneidet die y-Achse bei -4, hat einen Wendepunkt auf der x-Achse bei x=1. Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse verläuft parallel zur Geraden y=3x+2. Gleichung ?

Die Bedingungen

f(0) = -4
f(1) = 0
f''(1) = 0
f'(0) = 3

Das resultierende Gleichungssystem

d = -4
a + b + c + d = 0
6a + 2b = 0
c = 3

Die Funktion

f(x) = -0.5·x^3 + 1.5·x^2 + 3·x - 4

Comments

Kleine Kurvendiskussion

Symmetrie: 
punktsymmetrisch zu ( 1 | 0 )

Achsenschnittpunkte:   
mit y-Achse: -4   
mit x-Achse (Nullstellen): { -2 ;  1 ;  4 }

Extremwert(e):   
lokales Minimum bei  ( -0,732050807569 | -5,196152422707 )   
lokales Maximum bei  ( 2,732050807569 | 5,196152422707 )

Wendepunkt(e): ( 1 | 0 )

Answer 2

8. Parabel 3.Grades schneidet die y-Achse bei -4, hat einen Wendepunkt auf der x-Achse bei \(x=1\). Die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse verläuft parallel zur Geraden \(y=3x+2\). Gleichung ?

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

1.)

schneidet die y-Achse bei -4:   \(P(0|-4)\)

\(f(0)=d=-4\)

2.)

Steigung in  \(B(0|-4)\)  ist \(3\):

\(f´(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(f´(0)=c=3\)

3.)

Wendepunkt auf der x-Achse bei \(x=1\)

\(f(x)=ax^3+bx^2+3x-4\)

\(f(1)=a+b-1=0\)  → \(a+b=1\)

4.)

Eigenschaft Wendepunkt:

\(f´´(x)=6ax+2b\)

\(f´´(1)=6a+2b=0\) → \(3a+b=0\) → \(b=-3a\)  ∈ 3.)  \(a-3a=1\)   → \(a=-\frac{1}{2}\)   \(b=\frac{3}{2}\)

\(f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2+3x-4\)