Häufungspunkte einer Folge mit Cos und Pi. an:=cos((π/2)n)

Question

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Jeder Wert der Wertemenge ist Häufungspunkt.

Comments

Wie kann ich das beweisen?

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Indem du die bekannten Eigenschaften der Kosinusfunktion heranziehst.

Answer 2

an:=cos((π/2)n)

a1 = 0,
a2 = -1,
a3 = 0,
a4=1,
a5 = 0,
a6=-1,
a7 = 0,
a8 = 1
usw.
Je nach eurer genauen Definition von Häufungspunkt gilt nun
entweder:
Die Menge der Häufungspunkte von (an) ist  H = {-1,0,1}, weil jeder Punkt unendlich oft vorkommt, kommt er immer wieder vor. 
oder
Die Menge der Häufungspunkte von (an) ist  H = { }, leere Menge, weil die Punkte selbst nicht zur Umgebung der Punkte gezählt werden. 

Für dich gilt vermutlich noch die erste Definition und Antwort. https://de.wikipedia.org/wiki/Häufungspunkt#H.C3.A4ufungspunkt_einer_Folge

Comments

Für Häufungspunkte einer Folge gibt es nur eine Definition (oder vielleicht mehrere, aber die sind alle äquivalent zueinander); die Häufungspunkte sind hier -1, 0 und 1.

Du dachtest bei der zweiten Definition an Häufungspunkte von Mengen. Und die Menge der Folgenglieder hat hier keine Häufungspunkte.

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Richtig. Danke.

Die zweite Definition wird verwendet, wenn man die Folge als Punktmenge ansieht.