Bist du " Abschreiberling " ? Meist find ich das auch besser, wenn die ganzen Leutchen ihre Aufgaben im O-Ton präsentieren, weil mir das nämlich ermöglicht, meine ganze Genialität ungebremst zu entfesseln.
Ich würd mal behaupten, deine Aufgabe zerfällt in einen trivialen Term, den schaffst du alleine. Welchen? Den zweiten. Das Problem verursacht der erste; deinerseits hätte ich aber eine ganz andere Frage erwartet.
" Selbst eine alte Kuh / Lernt immer noch dazu. "
Die Rede soll sein von der Krankenhausregel. Ich lernte sie kennen in Kl. 12 in einem 2 000 Seiten starken Buch über Analysis, welches der Hertie damals für 10 DM verschleuderte; im Wesentlichen bestand es aus " rosanen " und himmelblauen Merkkästchen. Im Matheunterricht bei Herrn Streusel präsentierte ich sie in einem Referat; der schien auch weiter keine Einwände zu haben. Dann im ersten Semester kam sie in der Vorlesung; ich kann mich nicht erinnern, dass unsere Matheprofs, die notorischen Besserwisser, die den Studenten sonst immer alles verbieten, irgendwelche Gegenargumente gegen die Krankenhausregel vorgebracht hätten. Ja den Spitznamen " Krankenhausregel " lernte ich geradezu von " Norbert " , einem Prof ...
Ich setze mal
f ( x )
g0 := lim ------------------------- ( 1a )
g ( x )
f ' ( x )
g1 := lim ------------------------- ( 1b )
g ' ( x )
Dann lautet doch die allgemeine Erwartung g1 = g0 . Und genau das stimmt eben nicht; die Bedingung ist nur hinreichend, nicht notwendig. Sie gilt wie alle analogen Kriterien nur in der falschen Richtung. Wenn ich irgendwoher weiß, dass g1 existiert, folgt g0 = g1. Es ist KEINE Äquivalenz; und das übliche Gleichheitszeichen darf ich streng genommen gar nicht setzen.
Diese Einschränkung fand ich in Wiki; ihre Entdeckung scheint mal wieder neueren Datums zu sein ... ( Längst bin ich Renntier ) Insbesondere darf ich unten nicht fort laufend schreiben g0 = g1 = g2 .
Berechnen wir zunächst g0
9 x ² + 2 x - 8 + cos ( x )
g0 := lim --------------------------------------------------------- = ( 2a )
3 x ² - 8 x + sin ( x )
x ===> ( °° )
9 + 2 / x + ( 1 / x ² ) [ cos ( x ) - 8 ]
= lim ------------------------------------------------------------- = 9/3 = 3 ( 2b )
3 - 8 / x + ( 1 / x ² ) sin ( x )
Die Umformung ( 2b ) ist zulässig, weil Sinus und Kosinus beschränkt sind. Sehen wir zu, was die Krankenhausregel ergibt.
18 x + 2 - sin ( x ) ( °° )
g1 = lim ------------------------------------------- = ------------- ( 3a )
6 x - 8 + cos ( x ) ( °° )
18 - cos ( x )
g2 = lim ----------------------------------- = unbestimmt ( 3b )
6 - sin ( x )
Die Funktion g2 hat bei x = ( °° ) eine ===> wesentliche Singularität; ist dort nicht stetig ergänzbar. Offensiochtlich ist es verkehrt, daraus zu schließen, der Grenzwert von g0 existiere eben Falls nicht.
Selbst wenn g2 den uneigentlichen Grenzwert Unendlich annähme, wäre das weiter noch kein Unglück. In diesem Sinne betrachten wir Polstellen als stetig ergänzbar im uneigentlichen Sinne.
