Berechnen Sie den Grenzwert \lim_{n\to∞} bn für die Folge (bn)n∈N mit

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \) b_n für die Folge (b_n)n∈N mit

b_n=\( \sqrt[n]{3^n+7^n} \).

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) b_n=

Answer 1

Wende ln() auf bn an:

\( \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{\ln(3^n+7^n)}{n} \)

Regel von Hospital:

\( \lim\limits_{n\to+\infty} \frac{3^n \ln(3) +7^n \ln(7)}{3^n+7^n} = \)

\( \lim\limits_{n\to+\infty}  \frac{3^n}{3^n+7^n}\ln(3) + \frac{7^n}{3^n+7^n}\ln(7) = \)

\( \lim\limits_{n\to+\infty}  \frac{1}{1+(7/3)^n}\ln(3) + \frac{1}{1+(3/7)^n}\ln(7) = 0 + \ln(7) \)

Anwendung von ln() wieder rückgängig machen:

\( e^{ln(7)} = 7 \)

Answer 2

Verwende die Abschätzung \(\sqrt[n]{7^n}\)<\(\sqrt[n]{3^n+7^n}\)<\(\sqrt[n]{7^n+7^n}\)=\(\sqrt[n]{2}\cdot 7\).

Der vordere Term ist 7, der letzte geht gegen 7.

Answer 3

Aloha :)

Zieh die \(7\) vor die Wurzel:$$b_n=\sqrt[n]{3^n+7^n}=\sqrt[n]{7^n\left(\frac{3^n}{7^n}+1\right)}=\sqrt[n]{7^n}\,\sqrt[n]{1+\left(\frac37\right)^n}=7\,\sqrt[n]{1+\left(\frac37\right)^n}\to7\cdot1=7$$

Answer 4

Du kannst 3^n vernachlässigen, es verliert gegenüber 7^n

-> (7^n)^(1/n) = 7