Bestimmen sie den Grenzwert folgender Funktion \lim_{x\to∞}

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Funktion $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{(1+x)^2\cdot e^x}{\sin(x)+\cos(x)} $$

Mein Rechenweg: Ich brauche die Regel von L’Hospital

1. Schritt Ableitung bilden

g(x)= (1+x)²*e^x. (Produktregel)

g'(x)= (1)²*e^x+(1+x)²*e^x

h(x)= sin(x)+cos(x)

h'(x)=cos(x)-sin(x)

2. Schritt Grenzwert bestimmen

\( \lim\limits_{x\to\infty} \)  \( \frac{(1)^2 * e^x + (1+x)^2  * e^x }{cos(x)-sin(x)} \)

= \( \frac{e^x + 1 + x^2}{cos(x)-sin(x)} \)

= \( \frac{1}{cos(0)-sin(0)} \) = 1

Problem/Ansatz: Ich bin mir nicht sicher ob die Lösung richtig ist und wollt fragen, ob ich irgendwo ein Fehler habe...

Answer 1

Die Ableitung von (1+x)² ist 2x+1.

Comments

Die Ableitung wird nicht gebraucht.

---

@abakus

Die Ableitung von (1+x)² ist 2x+1.

Bist du dir da sicher?

---

jedenfalls sollte man beachten, dass der Nenner wechselndes Vorzeichen hat und Nullstellen. Es gibt also keienn Grenzwert

---

Könnte jemand netterweise auf meine Frage eingehen, statt hier dem Kollegen zu sagen, ob man sich bei dem Ergebnis sicher ist oder das man die Ableitung nicht braucht... dann macht es doch besser bitte!

---

L'Hospital könntest du nur anwenden, wenn es sich im
Grenzfall hier um einen Ausdruck der Gestalt \(\frac{\infty}{\infty}\)
handeln würde. Das aber ist hier nicht der Fall, da der Nenner
beschränkt ist.
Der Kommentar von Mathhilf ist ausschlaggebend !

Answer 2

hier eine erklärung.

Formel einfügenSymbol einfügenBiA“

frac{1}{x}\right)}{\left(1-\frac{8}{x}\right)} \cdot \frac{\ln |x-2|}{e^{x}\left(\left(\frac{2}{x}\right)^{x}-1\right)}, \frac{\infty}{\infty} \)
\( \begin{aligned} &=\left(\frac{1-\frac{1}{x}}{1-\frac{8}{x}}\right) \cdot \frac{\ln |x-2|}{e^{x}} \cdot \frac{1}{\left(\frac{2}{x}\right)^{x}-1} \\ & \rightarrow \frac{(1-0)}{(1-0)} \cdot \frac{1}{0-1} \\ &=1 \cdot(-1)=0 \end{aligned} \)
\( \stackrel{x \rightarrow-\infty}{\longrightarrow} \frac{(1-0)}{(1-0} \cdot \sqrt{\frac{\infty}{0}} \cdot \frac{1}{\infty-1} \cdot \sum \limits_{0}^{\infty} \cdot 0^{-\infty}=0 \)
\( =1 \cdot 0^{\infty} \cdot 0 \)