Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert der Folge (an)n ∈ N

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert der Folge (a_n)n ∈ N mit:

a_n=n(1-\( \sqrt{1+\frac{3}{n}} \)). Also \( \lim\limits_{n\to\infty} \)n(1-\( \sqrt{1+\frac{3}{n}} \)).
Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass der Grenzwert bei -1,5 liegt, aber nicht, wie ich daran komme. Ich habe die Formel auf a_n=n-\( \sqrt{n(n+3)} \) vereinfacht, aber weiß nicht weiter.

Danke im voraus für die Hilfe

Answer 1

hallo

erweitere  mit 1+√..

und 3. binomische Formel

lul

Comments

An welcher Stelle? ^^

Answer 2

Aloha :)

Hier hilft die 3-te bimosche Formel weiter:$$a_n=n\left(1-\sqrt{1+\frac3n}\right)=n\,\frac{\left(1-\sqrt{1+\frac3n}\right)\pink{\left(1+\sqrt{1+\frac3n}\right)}}{\pink{\left(1+\sqrt{1+\frac3n}\right)}}=n\,\frac{1^2-\left(\sqrt{1+\frac3n}\right)^2}{1+\sqrt{1+\frac3n}}$$$$\phantom{a_n}=n\,\frac{1-\left(1+\frac3n\right)}{1+\sqrt{1+\frac3n}}=\pink n\,\frac{-\frac3{\pink n}}{1+\sqrt{1+\frac3n}}=\frac{-3}{1+\sqrt{1+\frac3n}}\to\frac{-3}{1+\sqrt{1+0}}=-\frac32$$

Comments

Vielen Dank! :)