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Aufgabe:

Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert der Folge (an)n ∈ N mit:

an=n(1-1+3n \sqrt{1+\frac{3}{n}} ). Also limn \lim\limits_{n\to\infty} n(1-1+3n \sqrt{1+\frac{3}{n}} ).
Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass der Grenzwert bei -1,5 liegt, aber nicht, wie ich daran komme. Ich habe die Formel auf an=n-n(n+3) \sqrt{n(n+3)} vereinfacht, aber weiß nicht weiter.


Danke im voraus für die Hilfe

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hallo

erweitere  mit 1+√..

und 3. binomische Formel

lul

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An welcher Stelle? ^^

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Aloha :)

Hier hilft die 3-te bimosche Formel weiter:an=n(11+3n)=n(11+3n)(1+1+3n)(1+1+3n)=n12(1+3n)21+1+3na_n=n\left(1-\sqrt{1+\frac3n}\right)=n\,\frac{\left(1-\sqrt{1+\frac3n}\right)\pink{\left(1+\sqrt{1+\frac3n}\right)}}{\pink{\left(1+\sqrt{1+\frac3n}\right)}}=n\,\frac{1^2-\left(\sqrt{1+\frac3n}\right)^2}{1+\sqrt{1+\frac3n}}an=n1(1+3n)1+1+3n=n3n1+1+3n=31+1+3n31+1+0=32\phantom{a_n}=n\,\frac{1-\left(1+\frac3n\right)}{1+\sqrt{1+\frac3n}}=\pink n\,\frac{-\frac3{\pink n}}{1+\sqrt{1+\frac3n}}=\frac{-3}{1+\sqrt{1+\frac3n}}\to\frac{-3}{1+\sqrt{1+0}}=-\frac32

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Vielen Dank! :)

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