Zeigen Sie, dass die Folge (a_{\phi(n)})_{n ∈ ℕ} ebenfalls konvergent ist mit Grenzwert a .

Question

Aufgabe:

Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert \(a \in \mathbb{R}\) und sei \(\phi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\) eine injektive Abbildung. Zeigen Sie, dass die Folge \((a_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) ebenfalls konvergent ist mit Grenzwert \(a\).

Problem/Ansatz:

Wie faengt man damit an? Zeigt man, dass \((a_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) eine Teilfolge von \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist? Wegen dem Satz von Bolzano-Weierstraß?

Answer 1

Sei \(\varepsilon > 0\).

Sei \(N\in \mathbb{N}\) mit \(\left|a_n-a\right| < \varepsilon\) für alle \(n > N\).

Zeige dass es ein \(N' \in \mathbb{N}\) gibt, so dass \(\left|a_{\varphi(n)}-a\right| < \varepsilon\) für alle \(n\) mit \(\phi(n) > N'\) ist.

dass \((a_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) eine Teilfolge von \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist?

Ist es nicht. Die Reihenfolge ändert sich, wenn \(\phi\) nicht monoton steigend ist.