Question

Entscheiden Sie ob die folgende Folge konvergent ist
und berechnen Sie gegebenfalls ihren Grenzwert:

b_n=\( \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}} \) 

Ich weiß mittlerweile, dass der Grenzwert e ist. Mein Ansatz wäre, dies über ein Epsilon-Kriterium zu beweisen, allerdings weiß ich nicht, wie ich | \( \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}} \) - e | abschätzen, bzw. vereinfachen soll.

Answer 1

Aloha :)

Sei \((a_n)\) eine Folge in \(\mathbb R^{>0}\) und konvergiere die Folge \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\), so konvergiert auch die Folge \(\sqrt[n]{a_n}\) und es gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$Dieser Umstand wird bei den Konvergenzkriterien für Reihen gerne ausgenutzt und kann uns auch hier helfen:

$$a_n=\frac{n^n}{n!}\implies$$$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{1}{n^n}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e$$