Parameter. Nullstellen berechnen ohne Zahlen. fa (x) = x^3-a^2 x, a>0.

Question

gegeben ist f_a (x) = x³-a²x, a>0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von f und der x-achse eingeschlossenen flächen jeweils den Inhalt 4 haben?

Answer 1

$$  f_a (x) = x^3-a^2x$$$$ a>0 $$Schnittpunkte mit der x-Achse:$$  0 = x^3-a^2x$$$$  0 = x \cdot (x^2-a^2)$$$$  x_1=0 \quad\quad x_2=-a\quad\quad x_3=+a$$Fläche :$$A=|\int_0^a \, f_a(x) \, dx|$$$$A=|\int_{-a}^0 \, f_a(x) \, dx|$$

Answer 2

Nullstellen berechnen:

\[ f_a(x)= x^3-a^2x \\
0= x\cdot (x^2- a^2) \\
0= x \cdot (x+a) \cdot (x-a) \\
x_1= -a \quad x_2 = 0 \quad x_3 = a
\]

Eine der Flaechen in Abhaengigkeit von \(a>0\) bestimmen:

\[ F_a(x) = \frac{1}{4}x^4- \frac{1}{2} a^2x^2 + c \]
\begin{aligned}
4 &= \vert \int_0^a f_a*(x) dx = \left[ F_a(x) \right]_0^a \vert \\
4 &=\vert \left[ \frac{1}{4}x^4- \frac{1}{2} a^2x^2 + c \right]_0^a \vert \\
4 &= \vert (\frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{2} + c ) - ( c ) \vert \\
4 &= \vert - \frac{a^4}{4} \vert = \frac{a^4}{4} \\
4 \cdot 4 &= a^4 \\
a&= 2
\end{aligned}
Fuer \(a=2\) sind die durch f und die x-Achse eingeschlossenen Flaechen 4 Einheiten gross.

Gruss
$$ $$

Answer 3

^{$$ \int_{0}^{a}(x^3 - a^2x)dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}a^2x^2]^a_0 = $$}

^{$$ -\frac{1}{4}a^4 = -4 $$}

^{Also muss a gleich 2 sein.}