Vielfachheit, Anzahl und Lage der Nullstellen fa(x)=(x-1)(x²+a)?

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Die Frage ist Oben beschrieben, ich habe meine Probleme mit dem x² und dem Parameter zusammen. Es wäre nett, wenn mir jemand diese Aufgabe mit Rechenschritten lösen könnte. Das würde mir sehr weiterhelfen.

f_a:x↦(x-1)(x²+a)

a=∈ℝ/{0}

Also meine erste Nullstelle x₁=1 das kann ich ja noch ablesen. Aber was muss ich mit dem Parameter anstellen, wenn x noch dazu im quadrat steht? :(

Answer 1

ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Da der Funktionsterm die Form eines Produkts hat und einer der Faktoren (x-1) ist, ist die Zahl 1 auf alle Fälle (und unabhängig von a) IMMER eine Nullstelle.

Der zweite Faktor (x²+a) hat für positive a gar keinen x-Wert, bei dem er Null wird, und für a=0 würde der Faktor  (x²+a) nur Null, wenn x=0 gilt. Allerdings ist der Fall a=0 in der Aufgabenstellung ausdrücklich ausgeschlossen.

Bleibt nur noch der Fall a<0. Dann hat die Gleichung  (x²+a)=0 genau zwei Lösungen.

Somit hat die Gleichung  (x-1)(x²+a)=0 für a<0  (fast) immer drei Lösungen:

die Lösung x=1 und die beiden Lösungen der Gleichung  (x²+a)=0 für negative a.

Es gibt jedoch ein negatives a, bei dem eine der beiden Lösungen von   (x²+a)=0 mit der bereits vorhandenen Lösung x=1 zusammenfällt und es so statt 3 nur 2 Nullstellen gibt.

Kommst du damit klar?