Parameteraufgabe fa(x)= -1/8x(x-a)(x-5)²: Anzahl, Lage, Vielfachheit von Nullstellen

Question

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bald steht mein Fachabi an und ich bleibe jedes mal wieder bei der Fallunterscheidung (Berechnung von Anzahl, Lage und Vielfachheit bei Parameteraufgaben) hängen.

Gegeben ist die Funktion fa(x)= -1/8x(x-a)(x-5)²

FRAGE: Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von fa

Die Nullstellen von x kann man ja schon aus der Funktion raus lesen -> x1=0; x2=a; x3/4=5

...weiter komme ich leider nicht! Ich habe zwar die entsprechenden Lösungsergebnisse, mir ist jedoch nicht klar wie man darauf kommt.

Bitte helft mir doch, falls ihr das versteht- wär wirklich superlieb! Danke :)

Comments

Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von fa.

- 1/8x (x-a) (x-5)²

Answer 1

Du hast doch schon alles richtig erkannt.
Für a = 0 gibt es 2 Nullstellen. Eine doppelte bei 0 und eine doppelte bei 5.
Für a = 5 gibt es 2 Nullstellen. Eine einfache bei 0 und eine dreifache bei 5.

Für alle anderen a gibt es drei Nullstellen. Eine einfache bei 0 und a und eine doppelte bei 5.

Comments

Danke für die schnelle Antwort, aber wie komme ich auf a?  Ich meine a ist ja nicht x- welche Überlegung ist dabei notwendig?

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a ist ein Parameter den du frei wählen kannst. Das heißt du kannst jedes beliebige a nehmen.

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Danke jetzt hats bei mir endlich Klick gemacht, ich habe bei der ganzen Sache einfach viel zu kompliziert gedacht^^... LG

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könntest du noch erwähnen wie man ablesen kann, dass man für a=0 zwei Nullstellen (dopplelt, doppelt), für a=5 zwei Nullstellen (einfach, dreifach) und für a≠0 ^ a≠5 drei Nullstellen (einfach, zweifach, einfach) bekommt? So steht es in der Lösung.

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Grundsätzlich gilt

Für alle anderen a gibt es drei Nullstellen. Eine einfache bei 0 und a und eine doppelte bei 5.

Es gibt also eine einfache Nullstelle bei 0 und eine einfache Nullstelle bei a. Ist jetzt aber a = 0 dann gibt es für 0 eine Nullstelle und für a = 0 eine Nullstelle und damit für 0 eine doppelte Nullstelle. 

Genau so funktioniert es wenn a = 5 ist. Dann kommt zu der ohnehin doppelten Nullstelle bei 5 noch die Nullstelle für a = 5 dazu und man hat eine dreifache Nullstelle für 5.

Answer 2

---> Satz vom Nullprodukt:

-x/8=  0 -------->x_1=0 (einf. Nullstelle)

x-a= 0     ------>x_2= a (einf. Nullstelle)

(x-5)^2=0 -------->x_3.4= 5 (doppelte Nullstelle)

Answer 3

Es gibt offenbar zwei feste Nullstellen und eine variable Nullstelle. Das ergibt in der Anzahl zwei bis drei Nullstellen in fünf sinnvollerweise unterscheidbaren Lagen. Unterscheide also die fünf verschiedenen Lagen für a und bestimme für diese Fälle jeweils Anzahl und Vielfachheit der Nullstellen.