rationale Nullstellen und deren Vielfachheit

Question

Bestimmen Sie alle rationalen Nullstellen und deren Vielfachheit des Polynoms

f(x) = 4x⁷-4x⁶-7x⁵+6x⁴+4x³-2x²-x

wie löst man so eine Aufgabe? Habe es versucht, bekomme aber bei den 7 Nullstellen nur 0-en raus, da kann doch was nicht stimmen...

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Habe es versucht, bekomme aber bei den 7 Nullstellen nur 0-en raus, da kann doch was nicht stimmen...

Ab den Nullstellen sollte das Polynom sicher Null ergeben. Wo ist denn dein Problem nun genau?

Answer 1

f(x) = 4x⁷-4x⁶-7x⁵+6x⁴+4x³-2x²-x

1.Nullstelle
f(x) = ( 4x⁶-4x⁵-7x⁴+6x³+4x²-2x- 1 ) *x   =>  x = 0

Du hast bestimmt die " -1 " vergessen.

Eine weitere Nullstelle ergibt sich durch raten : x = 1
f ( x ) = 4x⁶-4x⁵-7x⁴+6x³+4x²-2x- 1
f ( 1 ) = 4 - 4 - 7 + 6 + 4 - 2 - 1 = 0  = > x = 1 stimmt
Ob man jetzt mit Polynomdivision weitermachen solte mußt du entscheiden
( 4x⁶-4x⁵-7x⁴+6x³+4x²-2x- 1 ) : ( x - 1 ) =

Mein Matheprogramm liefert mir das Ergebnis
( x + 1) * ( -x^2 * 2 + x + 1 )^2

mfg Georg

Answer 2

Es gibt einen schönen Satz der hier wohl verwendet werden soll: Ist f ein Polynom mit nur ganzzahligen Koeffizienten so gilt für die rationalen Nullstellen: $$\text{Ist } \frac{p}{q} \text{ Nullstelle von } f \text{, so gilt: } p|a_0 \text{ und } q|a_n$$, i.W: der Nenner teilt den konstanten Term, der Zähler den Koeffizienten des höchsten Terms. Dies wenden wir auf $$4x^6-4x^5-7x^4+6x^3+4x^2-2x-1$$ (0 ist eine Nullstelle des originalen Terms), also p|1 und q|4, damit p=1,-1 und q=-4,-2-1,1,2,4. Probiert man aller Möglichkeiten durch ergeben sich drei Nullstellen 1/2,-1,1. Mit Pol.div erhält man auch die Vielfachheiten 1,3,1.

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ergeben sich drei Nullstellen 1/2,-1,1. Mit Pol.div erhält man auch die Vielfachheiten 1,3,1.

Irgendwo hast du dich vertan.

Nicht 1 / 2 sondern - 1 / 2 ist Nullstelle von f ( x ) und ihre Vielfachheit ist 2, nicht 1.

Answer 3

4 x⁷- 4 x⁶ - 7 x⁵ + 6 x⁴ + 4 x³ - 2 x² - x = 0

<=> x ( 4 x⁶- 4 x⁵ - 7 x⁴ + 6 x³ + 4 x² - 2 x - 1 ) = 0

<=> x₁ = 0 oder 4 x⁶- 4 x⁵ - 7 x⁴ + 6 x³ + 4 x² - 2 x - 1 = 0

(Weiter nur mit der zweiten Gleichung): Hier wird man eine Nullstelle "raten" müssen. Das fällt leicht, wenn man weiß, dass wenn diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat, diese ein ganzzahliger Teiler des absoluten Gliedes (hier also der 1) sein muss.  Die 1 hat nur zwei ganzzahlige Teiler, nämlich die 1 und die -1. diese probiert man also zunächst aus. Wenn beide keine Lösung der Gleichung sind, dann hat die Gleichung keine ganzzahlige Lösung und dann wird man zu numerischen Verfahren greifen müssen.

Glücklicherweise sind sowohl - 1 als auch 1 Lösungen der Gleichung. Also

x₂ = 1 und

x₃ = - 1

Weiter mit Polynomdivision mit ( x - 1 ) :

( 4 x⁶- 4 x⁵ - 7 x⁴ + 6 x³ + 4 x² - 2 x - 1 ) : ( x - 1 ) = 4 x⁵ - 7 x³ - x² + 3 x - 1

und dieses Ergebnis polynomdividieren mit ( x + 1 )

( 4 x⁵ - 7 x³ - x² + 3 x - 1 ) : ( x + 1 ) = 4 x⁴ - 4 x³ - 3 x² + 2 x + 1

Zu lösen ist nun also noch :

4 x⁴ - 4 x³ - 3 x² + 2 x + 1 = 0

Wieder ist das absolute Glied 1 , also probiert man erneut, ob - 1 und 1 Lösungen der Gleichung sind und findet, dass das für x = 1 der Fall ist, nicht aber für x = - 1 . Also ist x₂ = 1 mindestens eine doppelte Nullstelle, x₃ = - 1 hingegen lediglich eine einfache.

Weiter mit Polynomdivision:

( 4 x⁴ - 4 x³ - 3 x² + 2 x + 1 ) : ( x - 1 ) = 4 x ³ - 3 x - 1 

Löse die Gleichung:

4 x ³ - 3 x - 1 = 0

Wieder ist x = 1 eine Lösung, also ist x₂ = 1 nun bereits mindestens eine dreifache Nullstelle.

Weiter mit Polynomdivision:

( 4 x ³ - 3 x - 1 ) : ( x - 1 ) = 4 x ² + 4 x + 1

Löse die Gleichung:

4 x ² + 4 x + 1 = 0

Das ist nun eine quadratische Gleichung, die mit den bekannten Methoden (Mitternachtsformel, pq-Formel (nach Division durch 4) oder auch mit Hilfe der quadratichen Ergänzung) gelöst werden kann. Man findet:

x₄ = - 1 / 2

und stellt fest, dass dies eine doppelte Nullstelle ist, denn Polynomdivision mit ( x + ( 1 / 2 ) ) ergibt

4 x + 2

und die Gleichung

4 x + 2 = 0 hat ebenfalls die Lösung x = - 1 / 2

 

Insgesamt hat man also die Lösungen;

x₁ = 0 (einfache Nullstelle)
x₂ = 1 ( dreifache Nullstelle)
x₃ = - 1 (einfache Nullstelle) und
x₄ = - 1 / 2 (doppelte Nullstelle).

Das Polynom

f ( x ) = 4 x⁷- 4 x⁶ - 7 x⁵ + 6 x⁴ + 4 x³ - 2 x² - x

kann daher geschrieben werden als:

f ( x ) = a * x ( x - 1 ) ³ ( x + 1 ) ( x + ( 1 / 2 )  ) ²

Multipliziert man dies aus,

so erhält man:

= a ( x⁷- x⁶ - ( 7 x⁵ / 4 ) + ( 3 x⁴ / 2 ) + x³ - ( x² / 2 ) - ( x / 4 ) )

sodass der Faktor a also den Wert 4 haben muss, damit sich die Funktion f ( x ) ergibt.

Die Nullstellenform von f ( x ) ist also:

f ( x ) = 4 * x ( x - 1 ) ³ ( x + 1 ) ( x + ( 1 / 2 )  ) ²