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Aufgabe:

Ermittle die Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion.

a) \( f_{k}(x)=2 x^{2}+k x^{2}-2 x+2 \)

b) \( g_{k}(x)=2 k x^{2}-\frac{2}{3} k x+\frac{1}{9} \)

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a). Die Nullstellen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung: (k+2)x2-2x+2=0 und heißen x1/2=(1±√(-2k-3))/(k+2). Für k=-2 ist der Nenner dieser Lösung nicht definiert und der Funktionsterm heißt f-2(x) = -2x+2. Das ist eine Gerade mit einer Nullstelle bei x=1. Sonst muss man in der Lösung den Term -2k-3 unter der Wurzel betrachten. Ist -2k-3<0 so entsteht die Wurzel aus einer negativen Zahl und es gibt keine Nullstelle. Ist -2k-3>0 so gibt es zwei Nullsellen. Ist  -2k-3=0 so gibt es wieder eine Nullstelle (als Scheitelpunkt).

Avatar von 123 k 🚀

OhO kannst du mit bitte eeklaren wie du das mit k=-2 funktioniert

Für k=-2 wird (k+2)x2-2x+2=0 zu -2x+2=0 und dies hat nur die Lösung x=1.

also ich soll ja die Anzahl der nullstellen berechnen

wie macht man das weil ich verstehe das nicht

Meine Lösung war falsch. Ich habe sie korrigiert. Wenn du daran etwas nicht verstehst, frag weiter.

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f ( x ) = 2 * k * x^2 - 2/3 * k * x  + 1/9

Nullstelle(n)
2 * k * x^2 - 2/3 * k * x  + 1/9 = 0 | / 2k
x^2 - 2/3 *k / (2k) * x + 1/9 / (2k) = 0 /2k

x^2 - 1/3 * x  + 1 / (9*2k) = 0
x^2 - 1/3 * x  + 1 / (18k) = 0
x^2 - 1/3 * x  = 1 / (18k)
pq-Formel oder quad.Ergänzung
x^2 - 1/3 * x  + (1/6)^2= 1 / (18k) + (1/6)^2
( x - 1/6 )^2 = 1 / (18k) + 1/36

x - 1/6 = ± √ ( 1 / (18k) + 1/36 )

Anzahl der Lösungen
Eine Parabel kann
- keine Nullstelle haben
- 1 Nullstelle haben ( Berührpunkt )
- 2 Nullstellen haben

Ist der Term in der Wurzel negativ => keine
Lösung, keine Nullstelle
Ist der Term in der Wurzel 0 => eine
Lösung, eine Nullstelle
Ist der Term in der Wurzel > 0 => zwei
Lösungen, zwei Nullstellen

keine Lösung bei
1 / (18k) + 1/36  < 0
-2 < k < 0

eine Nullstelle bei
1 / (18k) + 1/36  = 0
k = -2
x - 1/6 = ± √ ( 1 / (18k) + 1/36 )
x - 1/6 = 0
x = 1/6
( 1/6 | 0 )

zwei Nullstellen bei
1 / (18k) + 1/36  > 0
k < -2
und
k > 0
x - 1/6 = ± √ ( 1 / (18k) + 1/36 )
x = + √ ( 1 / (18k) + 1/36 ) + 1/6
x = - √ ( 1 / (18k) + 1/36 ) + 1/6

Bei Bedarf nachfragen.

Avatar von 123 k 🚀

tut mir leid wenn ich nerve aber ich versteve nicht was das 1/9 bedeutet oder wie das gerechnet wurde

Meinst du dies 1/9 ?

f ( x ) = 2 * k * x2 - 2/3 * k * x  + 1/9 

1/9 ist der y-Achsenabschnitt bei x = 0
f ( 0 ) = 2 * k * 0^2 - 2/3 * k * 0  + 1/9  = 1/9
( 0 | 1/9 )

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