Anzahl und Lage der Nullstelle ermitteln? Bsp. f_{k}(x)=2 x^{2}+k x^{2}-2 x+2

Question

Aufgabe:

Ermittle die Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion.

a) \( f_{k}(x)=2 x^{2}+k x^{2}-2 x+2 \)

b) \( g_{k}(x)=2 k x^{2}-\frac{2}{3} k x+\frac{1}{9} \)

Answer 1

a). Die Nullstellen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung: (k+2)x²-2x+2=0 und heißen x_1/2=(1±√(-2k-3))/(k+2). Für k=-2 ist der Nenner dieser Lösung nicht definiert und der Funktionsterm heißt f_-2(x) = -2x+2. Das ist eine Gerade mit einer Nullstelle bei x=1. Sonst muss man in der Lösung den Term -2k-3 unter der Wurzel betrachten. Ist -2k-3<0 so entsteht die Wurzel aus einer negativen Zahl und es gibt keine Nullstelle. Ist -2k-3>0 so gibt es zwei Nullsellen. Ist  -2k-3=0 so gibt es wieder eine Nullstelle (als Scheitelpunkt).

Comments

OhO kannst du mit bitte eeklaren wie du das mit k=-2 funktioniert

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Für k=-2 wird (k+2)x²-2x+2=0 zu -2x+2=0 und dies hat nur die Lösung x=1.

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also ich soll ja die Anzahl der nullstellen berechnen

wie macht man das weil ich verstehe das nicht

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Meine Lösung war falsch. Ich habe sie korrigiert. Wenn du daran etwas nicht verstehst, frag weiter.

Answer 2

f ( x ) = 2 * k * x^2 - 2/3 * k * x  + 1/9

Nullstelle(n)
2 * k * x^2 - 2/3 * k * x  + 1/9 = 0 | / 2k
x^2 - 2/3 *k / (2k) * x + 1/9 / (2k) = 0 /2k

x^2 - 1/3 * x  + 1 / (9*2k) = 0
x^2 - 1/3 * x  + 1 / (18k) = 0
x^2 - 1/3 * x  = 1 / (18k)
pq-Formel oder quad.Ergänzung
x^2 - 1/3 * x  + (1/6)^2= 1 / (18k) + (1/6)^2
( x - 1/6 )^2 = 1 / (18k) + 1/36

x - 1/6 = ± √ ( 1 / (18k) + 1/36 )

Anzahl der Lösungen
Eine Parabel kann
- keine Nullstelle haben
- 1 Nullstelle haben ( Berührpunkt )
- 2 Nullstellen haben

Ist der Term in der Wurzel negativ => keine
Lösung, keine Nullstelle
Ist der Term in der Wurzel 0 => eine
Lösung, eine Nullstelle
Ist der Term in der Wurzel > 0 => zwei
Lösungen, zwei Nullstellen

keine Lösung bei
1 / (18k) + 1/36  < 0
-2 < k < 0

eine Nullstelle bei
1 / (18k) + 1/36  = 0
k = -2
x - 1/6 = ± √ ( 1 / (18k) + 1/36 )
x - 1/6 = 0
x = 1/6
( 1/6 | 0 )

zwei Nullstellen bei
1 / (18k) + 1/36  > 0
k < -2
und
k > 0
x - 1/6 = ± √ ( 1 / (18k) + 1/36 )
x = + √ ( 1 / (18k) + 1/36 ) + 1/6
x = - √ ( 1 / (18k) + 1/36 ) + 1/6

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

tut mir leid wenn ich nerve aber ich versteve nicht was das 1/9 bedeutet oder wie das gerechnet wurde

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Meinst du dies 1/9 ?

f ( x ) = 2 * k * x2 - 2/3 * k * x  + 1/9 

1/9 ist der y-Achsenabschnitt bei x = 0
f ( 0 ) = 2 * k * 0^2 - 2/3 * k * 0  + 1/9  = 1/9
( 0 | 1/9 )