Bestimmen Sie durch Rechnung die Existenz, Anzahl, die Lage und die Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit von k

Question

Gegeben ist die Schar quadratischer Funktionen:

F(x)= -3x² + 2kx + k²

Bestimmen Sie durch Rechnung die Existenz, Anzahl, die Lage und die Vielfachheit der Nullstellen der Funktionen f(x) in Abhängigkeit von k. 

Kann mir jemand erklären, vielleicht mit Rechenschritt wie das funktioniert mit diesem Parameter. Die Lösungen habe ich bereits vorliegen. 

Answer 1

f(x) = - 3·x^2 + 2·k·x + k^2 = - 3·(x - k)·(x + k/3)

Eine Nullstelle bei k und die andere bei - k/3.

Eine doppelte Nullstelle also für k = 0 ansonsten 2 Nullstellen.

Answer 2

Du behandelst den Parameter, wie eine Zahl und rechnest dann ganz nomal die Nullstellen aus. Teilen durch -3

x² - 2k/3·x - k²/3. Dann p-q.Formel.

Answer 3

f(x)= -3x² + 2kx + k²=0

x^2-2/3kx-1/3k^2=0 quadratische Ergänzung:

(x-1/3k)^2-1/3k^2-(1/3k)^2=0

(x-1/3k)^2-4/9k^2=0

(x-1/3k)^2=4/9k^2 --> für k=0 eine Lösung, für k≠0 2 Lösungen

--> |x-1/3k|=2/3k

--> x₁=k

x₂=-k/3  ( hieran sieht man auch, das für k=0 x₁=x₂ ist, also dann nur eine Lösung)