Oh, hier wurde aber schnell "Beste Antwort" für nur 1 richtige Nachkommastelle gegeben ... ohne andere Antworten abzuwarten...
Lösung a)
Pi = lim A002485(n)/A002486(n) , x-> ∞ siehe oeis.org/A002485
suche ich mir eine besseren Bruch für Pi: 8958937768937/2851718461558
mit den gerundeten Wurzeln round(sqrt(8958937768937))/round(sqrt(2851718461558)) bekommt man
2993148/1688703 was man noch schriftlich gut rechnen kann:
=1.77245377... hier stimmen über 6 Stellen
Lösung b) (Zugabe für begabte Schüler)
aus http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm sucht man sich bekannte Algorithmen für Pi, wo
Pi = f(x)² vorkommt -> z.B. mit f(x)= Gamma(1/2) = sqrt(Pi) genau was wir suchen
Gamma(1/2) = lim (n! n^{1/2})/Pochhammer[1/2, n + 1], n-> ∞
n=100 ergibt Bruch
803469022129495137770981046170581301261101496891396417650688/455006286146918987856155989814357923469385563118952017627633
= 1.76584... 1 Nachkommastelle stimmt
= 1.772387.. bei n=10000 stimmen 3,5 Stellen
=1.7724432... n=62500 stimmen 4,5 Stellen
Lösung c) Newton Iteration schriftlich
a[k+1]=(a[k]+3.141593/a[k])/2,a[0]=1.9 muss ja etwas kleiner als 2 sein
k=1 ergibt 1.77674 schon 2 richtige
k=2 ergibt 1.77246 4 Nachkommastellen stimmen!
