vollständige induktion 1/wurzel k > wurzel n ,n>1

Question

Hab als Induktionsschritt

∑1/√(k) + 1√(n+1) > √(n) + 1/√(n+1)

Dann hörts auf. Wie vereinfache ich weiter damit ich am ende ...> √(n+1) zu stehen habe?

Answer 1

 Kannst ja mal hinschreiben was du brauchst und

formst das ein wenig um:

√(n) + 1/√(n+1)    >  √(n+1)      | * √(n+1) 

√(n+1)  * √(n) + 1    >  n+1 

√(n+1)  * √(n)     >  n   

√((n+1) *n)    >  n   quadrieren ( ist eine Äquivalenzumformung, da alles positiv

(n+1)*n   >  n^2 

n^2 + n    >  n^2 

            n > 0   Und das stimmt für alle n aus N.

Comments

Ich dachte man muss die Induktionsbehauptung zeigen, dass am ende tatsächlich .... >√(n+1) oder nicht ?

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Genau, aber wenn du diese Behauptung hinschreibst und die

Ungleichung äquivalent umformst und dabei auf eine wahre

Aussage stößt, hast du die Ind.beh.  ja gezeigt.