Erklärung zu Permutationen Sign() Fehlstände

Question

ich habe eine Frage zu den Fehlständen bei Permutationen.

Wenn ich richtig verstanden habe, schauen wir, wie viele Werte in den unteren Tabellenzeile links jeweils größere Werte besitzen.

Z.B. Bei x=6 : Alle Wrte links sind größer als 1, daher 5.

Bei x = 5 : 5,6,4 sind größer als 3, daher 3.

Bei x = 4: nur 6 ist größer als 5, daher 1

Da hört das schon auf. Also 5+3+1 = 9. (-1)⁹=-1

So weit so gut. Nur stellt sich für mich die Frage, was denn passiert, wenn eine gerade Zahl rauskommt. Z.B. Bei $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Dann wären es ja 2 und es käme sign(o) = 1 raus. Hat das auswirkungen aus die Erklärung bzgl. den Fehlständen.

 Wäre echt toll wenn es mir jemand kurz erklären würde. Bin in der Klausurvorbereitung für die nächste Woche :)

Quelle zur Abb.: https://de.wikiversity.org/wiki/Permutation/246531/Fehlst%C3%A4nde_und_Signum/Beispiel

Comments

Bei deiner zweiten Permutation zähle ich fünf Fehlstände.

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ok mein Fehler. habe nicht weiter gedacht. Kann es aber vorkommen, dass eine gerade anzahl an fehlständen rauskommt?

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Z.B die hat die Permutation \(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}\) zwei Fehlstände.

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Das wäre dann -1²=1. Ist sign(o)=1. Richtig so?

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Besser mit Klammern: (-1)² = 1.

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Was ich meine ist, dass ich bisher dachte, dass ein positives Ergebnis sagt, dass es keine Fehlstände gibt.

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Ich denke ich habe es verstanden :) Bei deiner Permutation kann man 1 nach links shiften, sodass es wieder gleich mit der oberen Zeile ist. Bei einer ungeraden Anzahl , könnte man es nicht wieder "reparieren".
Richtig so ? :)

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Ist die Anzahl der Fehlstände einer Permutation gerade, ist das Signum positiv.