Bestimmen Sie sign(σ) und sign(τ )(Matrizen)

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1 Seien σ, τ ∈ S6 wie folgt gegeben:
σ =
1 2 3 4 5 6
2 5 1 4 3 6
,

τ =
1 2 3 4 5 6
1 3 6 5 2 4
.
1. Bestimmen Sie sign(σ) und sign(τ ).
2. Bestimmen Sie sign(σ ◦ τ ).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man sign rechnet und was ◦ bedeutet bzw. wie man es rechnet.

Ich freue mich auf Musterlösungen.

Eine Letzte Frage, was ist Permutation bzw. wozu man die verwendet in diesem Kontext?

Danke

Answer 1

Seien σ, τ ∈ S6

Das heißt u. a. \(\sigma\) ist eine bijektive Abbildung von \(\{1,2,3,4,5,6\}\) nach \(\{1,2,3,4,5,6\}\).

σ =
1 2 3 4 5 6
2 5 1 4 3 6

Das heißt \(\sigma(1) = 2\), \(\sigma(2) = 5\), \(\sigma(3) = 1\), \(\sigma(4) = 4\), \(\sigma(5) = 3\) und \(\sigma(6) = 6\).

wie man sign rechnet

Bestimme alle Paare \((x,y)\) von Zahlen aus \(\{1,2,3,4,5,6\}\) mit \(x < y\).

Zähle für wie viele dieser Paare \(\sigma(x) > \sigma(y)\) gilt.

Ist die Anzahl gerade, dann ist \(\operatorname{sign}(\sigma) = 1\), andernfalls ist \(\operatorname{sign}(\sigma) = -1\).

was ◦ bedeutet

Hintereinanderausführung von Abbildungen, a.k.a Verkettung.

Zum Beipiel \((\sigma\circ\tau)(4) = \sigma(\tau(4)) = \sigma(5) = 2\).

was ist Permutation

Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer Menge in sich selbst.

wozu man die verwendet in diesem Kontext?

Die Aufgabe handet von Permutationen. \(S_6\) ist die Menge der Permutationen mit Definitionsmenge \(\{1,2,3,4,5,6\}\).