Körperberechnungen eines Kreiskegel durch Vektorgeometrie

Question

Hallo ich versuche nun schon eine ganze Weile, diese Aufgabe zu lösen:

Von einem geraden Kreiskegel kennt man die Spitze S(-7,-3,14) und einen Punkt Q(1,-1,8) auf einer Mantellinie des Kreiskegels. Die Grundfläche des Kreises liegt in der Eben E, welche die drei Punkte P1(1,-2,1), P2(0,3,1) und P3(2,4,3) festgelegt wird.

Bestimme die Höhe, den Radius und das Volumen des Kreiskegels.

Ich weiss nicht genau, wie ich dabei vorgehen soll. Ich habe den Normalvektor der Ebene durch Auskreuzen der Richtungsvekoren P1P2 und P1P3 berechnet und bin auf (10,2,-16) gekommen.

Answer 1

u und n sind Vektoren:

mit dem Punkt S und dem Normalenvektor  \(\vec{n}\) der Ebene als Richtungsvektor ist die Höhengerade festgelegt.

Wenn du diese mit der Ebene schneidest, erhältst du den Höhenfußpunkt H (= Mittelpunkt des Grundkreise).  |\(\overrightarrow{HS}\)|  ist dann die Länge h der Höhe.

Dann berechnest du die Gerade durch S und Q (Richtungsvektor \(\overrightarrow{SQ}\)) und deren Schnittpunkt  R mit der Ebene. Letzterer liegt auf der Kreislinie. |\(\overrightarrow{RH}\)| ist dann der Radius r des Kegels.

→  V_Kegel = 1/3 • π • r² • h

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort!!

Wie genau würdest du vorgehen um den Mittelpunkt zu erhalten? Bin mir nicht sicher, ob ich es richtig mache ;)

---

du must die Gerade SH:  \(\vec{x}\) = \(\vec{s}\) + λ • \(\vec{n}\) mit der Ebene schneiden.

(der Ortsvektor \(\vec{s}\) des Punktes S ist ein Stützvektor und der Normalenvektor \(\vec{n}\)  der Ebene ein Richtungsvektor der Geraden SH)

Wenn du nicht weißt, wie das geht, kannst du dir hier ein beispiel ansehen:

http://www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/schnittprobleme/gerade-schneidet-ebene/

Answer 2

Bilde die Gerade durch S mit dem Richtungsvektor  (10,2,-16)

und schneide sie mit der Ebene. Dann hast du schon mal den Mittelpunkt M des Grundkreises.

Und die Länge MS ist die Höhe des Kegels.

Die Gerade durch S und Q schneidet die Ebene in einem Punkt  P des Grundkreises.

Die Strecke PM gibt dann den Radius an.  Und dann ist das Volumen

einfach nur V = 1/3 * r^2 * pi * h