Ja, 1 Liter entspricht immer 1 dm³. Dies hilft einem hier weiter, da der Kegel ja auch in Längeneinheiten und nicht in Litern gemessen wird. Um es einfacher zu machen, kann man dann die 24 cm Durchmesser auch noch in 2,4 dm umrechnen. Und der Radius beträgt damit dann die Hälfte, also 1,2 dm.
Nun setzt man einfach die beiden gegebenen Werte in die Formel für das Volumen ein: 1 dm³ für V und 1,2 dm für r. Somit ist h die einzige Variable, die übrig bleibt, und danach löst man die Gleichung dann auf:
V = 1/3 * r² * π * h
1 dm³ = 1/3 * (1,2 dm)² * π * h
1 dm³ = 1/3 * 1,44 dm² * π * h
1 dm³ = 0,48 dm² * π * h | ÷ 0,48 dm²
25/12 dm = π * h | ÷ π
25/(12π) dm = h
h ≈ 0,663 dm
Der Trichter muss also etwa 0,663 dm bzw. 6,63 cm hoch sein. :)
Vergleiche auch Kegelrechner online.
Zu Aufgabenteil b): Wenn ich mich jetzt nicht völlig vertue, dann verlaufen die Füllhöhe und der gegenwärtige Radius an dieser Höhe bei dem Glas ja immer proportional zueinander. Der Radius steht dann hier immer in folgendem Verhältnis zur Höhe:
25/(12π) * x = 1,2 | ÷ 25/(12π)
x = 72π/125
Also: r = 72π/125 * h
Nun muss man nur noch schauen, bei welcher Höhe das Glas genau einen halben Liter fasst. Man setzt also die Werte 1/2 dm³ für V und 72π/125 * h für r ein.
V = 1/3 * r² * π * h
1/2 dm³ = 1/3 * (72π/125 * h)² * π * h | ÷ 1/3
3/2 dm³ = (72π/125 * h)² * π * h
3/2 dm³ = 5184π²/15625 * h² * π * h
3/2 dm³ = 5184π³/15625 * h³ | * 15625
46875/2 dm³ = 5184π³ * h³ | ÷ 5184π³
46875/(2 * 5184π³) dm³ = h³
46875/(10368π³) dm³ = h³ (ich stell das jetzt mal auf die andere Seite ^^)
h³ = 46875/(10368π³) dm³ | 3√
h = 3√(46875/10368) / π dm
h ≈ 0,526 dm
Um einen Liter im Glas zu haben, muss es also etwa 5,26 cm hoch gefüllt werden.
