Lagrange und Maximierung, Lagrange Multiplikator

Question

Komme hier auch gerade nicht weiter, vielleicht hat einer Spaß dran mit mir zusammen zu rätseln :-D)
meine Lösungen habe ich dazu geschrieben.
Wäre super, danke schonmal.

Answer 1

1. Die Lagerfläche berechnet sich (das geht direkt aus dem Text hervor) mit Hilfe des Terms \(x+2y\).

2. Somit ist deine Nebenbedingung bei b) falsch, und du darfst eine Korrektur vornehmen.

3. Wenn du es korrigiert hast wirst du wieder zu dem Punkt kommen, dass du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten erhältst. Dieses kannst du bspw. mit dem Einsetzungs- oder dem Eliminationsverfahren lösen.

Gruß

Answer 2

  Aufgabe a) ; Gradient Null setzen



    ( dE/dx )  =  40  -  x  =  0  ===> x  (  max  )  =  40     (  1a  )

    ( dE/dy )  =  80  -  y  =  0  ===> y  (  max  )  =  80     (  1b  )
    
     E_xx  =  E_yy  =  (  -  1  )    (  1c  )




    die Hessematrix ist negativ derfinit; in der Tat liegt ein Maximum vor. Bei einer quadratischen Form handelt es sich immer um einen Kegelschnitt; welcher Typ liegt vor? Konzentrische Kreise.




    -  1/2  x  ²  +  40  x  =  -  1/2  (  x  ²  -  80  x  )  =  -  1/2  (  x  -  40  )  ²  +  800    (  2a  )

    -  1/2  y  ²  +  80  y  =  -  1/2  (  y  -  80  )  ²  +  3 200    (  2b  )

    E  (  x  ;  y  )  =  4 000  -  1/2  (  x  -  40  )  ²   (  y  -  80  )  ²     (  2c  )




    Kreise sind positiv definit; in der Form ( 2c ) kannst du  unmittelbar den maximalen Erlös ablesen ( 4 000 ) , der für die Mittelpunktskoordinaten erreicht wird.
  Here I have Gott an idea . Schreiben wir doch den Kreis in Form von Polarkoordinaten:



     x  =  40  +  r  cos  (  ß  )       (  3a  )

     y  =  80  +  r  sin  (  ß  )        (  3b  )

     F  (  x  ;  y  )  :=  x  +  2  y  =  r  [  cos  (  ß  )  +  2  sin  (  ß  )  ]  =  const     (  3c  )



     Minimales r entspricht größtem Gewinn; also ( 3c ) ===> implizit nach ß ableiten:



    ( dF/dß )  =  ( dr/dß )  [  cos  (  ß  )  +  2  sin  (  ß  )  ]  +  r  [  2  cos  (  ß  )  -  sin  (  ß  )  ]  =  0     (  4  )



    Die rechte Seite von ( 4 ) ist Null als Ableitung einer Konstanten. Wie schon gesagt; im Minimum verschwindet die Ableitung ( dr/dß ) Es überlebt allein der zweite Term.     Lösung : tg ( ß ) = 2 ( im 1. Quadranten )
     Etwas schwierig stell ich mir die Rekonstruktion des effektiven r vor aus ( 3ab) ( mit der jeweiligen Nebenbedingung 75 oder 77)