Funktion: f(x1,x2) = x11/2 x21/2
Nebenbedingung: p1x1+p2x2=m
ich muss die Funktion maximieren und die Lsg. für x1 und x2 in Abhängigkeit von den Parametern angeben
Verfahren: Lagrange
wie ich vorgegangen bin:
1. Nebenbed. nach 0 aufgelöst: p1x1+p2x2-m = 0
2. Lagrangefunktion gebildet: L(x1,x2,lambda)= x11/2 x21/2 + lambda ( p1x1+p2x2-m)
3. ich habe die Funktionen partiell abgeleitet:
Lx1= 1/2 x1-1/2 + λp1
Lx2= 1/2 x2-1/2 + λp1
Lλ=p1x1+p2x2-m
4. ich habe die Extremstellen berechnet:
x1 = \( \frac{1}{4(λp1)2} \)
x2 = \( \frac{1}{4(λp2)2} \)
ich wollte nun die Werte in die Lλ Funktion einsetzen und dann nach λ auflösen
also x1, x2 eingesetzt ergibt: p1/(4λ2*4p12)+p2/(4λ2*4p22) = m
hab versucht, dann den Bruch wegzubekommen:
p1+p2 = m*4(λ2*p12*p22)
habe dann noch paar Umformungsschritte vorgenommen und habe am Ende :
λ = \( \sqrt{(p1+p2) / (4m*12p1^2*12p2^2)} \)
es sieht nicht vernünftig aus und ich sehe nicht, wie ich auf die Lösung kommen kann, wenn ich diesen Weg weitergehe
Die Musterlösung ist x1= m/(2p1) und x2= m/(2p2)
Kann mein Ansatz vielleicht nocht gerettet werden? Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte, auf die Lsg. zu kommen
Danke!