Maximierung mit Lagrange

Question

Funktion: f(x1,x2) = x₁^1/2  x₂^1/2

Nebenbedingung: p1x1+p2x2=m

ich muss die Funktion maximieren und die Lsg. für x1 und x2 in Abhängigkeit von den Parametern angeben

Verfahren: Lagrange

wie ich vorgegangen bin:

1. Nebenbed. nach 0 aufgelöst: p1x1+p2x2-m = 0

2. Lagrangefunktion gebildet: L(x1,x2,lambda)= x₁^1/2 x₂^1/2 + lambda ( p₁x₁+p₂x₂-m)

3. ich habe die Funktionen partiell abgeleitet:

L_x1= 1/2 x₁^{-1/2 +} λp₁

L_x2= 1/2 x₂^-1/2 ₊ λp₁

_Lλ=p₁x₁+p₂x₂-m

4. ich habe die Extremstellen berechnet:

x1 = \( \frac{1}{4(λp₁)²} \)

x2 = \( \frac{1}{4(λp₂)²} \)

ich wollte nun die Werte in die Lλ Funktion einsetzen und dann nach λ auflösen

also x1, x2 eingesetzt ergibt: p1/(4λ²*4p₁²)+p2/(4λ²*4p₂²) = m

hab versucht, dann den Bruch wegzubekommen:

p1+p2 = m*4(λ²*p₁²*p₂²)

habe dann noch paar Umformungsschritte vorgenommen und habe am Ende :

λ = \( \sqrt{(p1+p2) / (4m*12p₁^2*12p₂^2)} \)

es sieht nicht vernünftig aus und ich sehe nicht, wie ich auf die Lösung kommen kann, wenn ich diesen Weg weitergehe

Die Musterlösung ist x1= m/(2p₁) _und x2= m/(2p₂)

Kann mein Ansatz vielleicht nocht gerettet werden? Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte, auf die Lsg. zu kommen

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Dein Vorgehen ist prinzipiell richtig, aber du hast dich sehr früh verrechnet, nämlich bei den partiellen Ableitungen. Daher müsstest du nochmal alles sauber durchrechnen.

Die Funktion \(f(x;y)\) soll unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimiert werden:$$f(x;y)=\sqrt{xy}\quad;\quad g(x;y)=p_1x+p_2y\stackrel!=m=\text{const}$$Nach Lagrange muss in den Extrema der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}}=\lambda\begin{pmatrix}p_1\\p_2\end{pmatrix}$$Um den Lagrange'schen Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden, dividieren wir die Koordinatengleichung der 1-ten Komponente durch die der 2-ten Komponente:$$\frac{\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}}=\frac{\lambda\,p_1}{\lambda\,p_2}\implies\frac{y}{x}=\frac{p_1}{p_2}\implies p_1x=p_2y$$

Wir setzen diese Lagrange-Bedingung in die Nebenbedingung ein und sind fertig:$$m=p_1x+p_2y=2p_1x\implies \boxed{x=\frac{m}{2p_1}}\implies y=\frac{p_1x}{p_2}=\frac{p_1\frac{m}{2p_1}}{p_2}\implies\boxed{y=\frac{m}{2p_2}}$$

Answer 2

Hallo

deine partiellen Ableitungen sind leider falsch

Lx1=1/2x₁^-1/2*x₂^1/2+λp1

entsprechend Lx2

den Rest habe ich danach nicht mehr angesehen,

Gruß lul

Answer 3

Es ist \((1/2x_1^{-1/2}x_2^{1/2},\;1/2x_2^{-1/2}x_1^{1/2})=\lambda (p_1,\;p_2)\).

Das Verhältnis der beiden Komponenten liefert$$\frac{x_2^{1/2}}{x_1^{1/2}}:\frac{x_1^{1/2}}{x_2^{1/2}}=(\lambda p_1):(\lambda p_2).$$Umgeformt bekommt man:$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{p_1}{p_2}\quad (*)$$

Aus der Gleichung \(p_1x_1+p_2x_2=m\) ergibt sich \(x_2=1/p_2(m-p_1x_1)\).

Dies in \((*)\) eingesetzt liefert $$\frac{m-p_1x_1}{x_1}=p_1$$ und damit$$x_1=\frac{m}{2p_1},$$entsprechend für \(x_2\).