Extremstellen durch Lagrange Multiplikator

Question

ich wollte gern wissen, kann ich meine Nebenbedingung einfach umformen um mir die Rechenarbeit zu ersparen. Habe sie zu x+1-y^2 umgeformt und dann die Lagrange Multiplikatorverfahren angewendet. Ist diese Lösung zulässig?

Answer 1

Kannst aber auch direkt über:

Abstand des Punktes (x|y) vom Nullpunkt ist  d = wurzel(x^2 +y^2 ) gehen

also hier  d (x) = wurzel( x^2 + x +1 )

und das ist extremal, wenn der in der Wurzel, also f(x) =  x^2 + x +1

extremal ist.

Mit f ' (x) = 2x + 1   hast du   2x+1=0   also x = -1/2

Und mit f ' ' (x) = 2  hast du  f ' ' ( -1/2) = 2 > 0 Also ist der

Abstand für x=-1/2 minimal. Und dann ist  y = wurzel( 1/2 )  und der

Abstand ist wurzel( 1/4 + 1/2) = wurzel (3/4)

Randwerte sind bei x=0 da ist der Punkt (o|1) hat also zu (0/0) den Absatnd 1,

das ist jedenfalls nicht kleiner als  wurzel (3/4).

Maximum gibt es nicht, denn für x gegen unendlich wird der Abstand des

Punktes zum Ursprung beliebig groß.

Comments

Wäre es denn über mein Weg falsch?Und hast du bei "Abstand ist wurzel( 1/4 + 1/2) = wurzel (¾) " vllt das Quadrieren vergessen? Die Formel lautet ja Wurzel(x²+y²)=d

Answer 2

ungeachtet möglicher anderer Diskussionspunkte gilt :

$$ \frac{\partial H }{\partial y} = 2y-2\lambda y$$
$$ \frac{\partial H }{\partial y} = 0$$
$$ 0 = 2y-2\lambda y$$
$$  2y=2\lambda y$$
$$  y=\lambda y$$
$$  \lambda =1$$

Comments

oh stimmt, hat sich wohl n Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen. Zum Glück kommen dennoch die gleichen Ergebnisse heraus.

Answer 3

\(y= \sqrt{x+1} \)

\(f(x,y)=y- \sqrt{x+1} \)

Gesuchter Kreis k: \(x^2+y^2=r^2\) um den Ursprung berührt \(f(x)=\sqrt{x+1} \) im Berührpunkt . Die Steigungen beider Tangenten müssen dort gleich groß sein.

Weg über die implizite Ableitung:

\(k(x,y)=x^2+y^2-r^2\)

\(k_x(x,y)=2x\)

\(k_y(x,y)=2y\)

1.)  \(k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x}{y}\)

\(f(x,y)=y- \sqrt{x+1} \)

\(f_x(x,y)=- \frac{1}{2\sqrt{x+1} }\)

\(f_y(x,y)=1 \)

2.) \(f'(x)=-\frac{- \frac{1}{2\sqrt{x+1} }}{1}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)

\(-\frac{x}{y}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)

\(y=-2x\sqrt{x+1} \)

\(\sqrt{x+1}=-2x\sqrt{x+1} |^{2} \)

\(x+1=4x^2(x+1) \)

\(4x^2(x+1)-(x+1)=0 \)

\((x+1)(4x^2-1)=0 \)

\(x_1=0 \)   \(y(0)=1\)

Probe:

\(x^2+y^2=r^2\)  →  \(1=r^2\)      \(x^2+y^2=1\)    Ist der Einheitskreis um den Ursprung. Stimmt nicht.  Hier ist der Abstand maximal.

\(4x^2=1 \)

\(x_2=\frac{1}{2} \)       \(f(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(x^2+y^2=r^2\)   →  \(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{7}{4}=r^2\)Stimmt nicht.

Probe:

\(x_3=-\frac{1}{2} \)     \(f(-\frac{1}{2})=\sqrt{-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(x^2+y^2=r^2\)     →\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}=r^2\)✓

\(x^2+y^2=\frac{3}{4}\)