Nullstelle berechnen durch Faktorisieren. x^3-x^2-9x+9=0

Question

Meine Funktion lautet:

x³-x²-9x+9=0

Und ich möchte die Nullstellen herausbekommen, jedoch soll ich das durch faktorisieren lösen.

Answer 1

Du bekommst mit ganz elementaren Mitteln (Ausklammern, dritte binomische Formel) leicht eine vollständige Zerlegung deines Terms in Linearfaktoren:
$$ x^3-x^2-9x+9 = \\\,\\ x^2\cdot\left(x-1\right)-9\cdot\left(x-1\right) = \\\,\\ \left(x^2-9\right)\cdot\left(x-1\right) = \\\,\\ \left(x+3\right)\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x-1\right). $$Das ist einfacher und unaufwändiger als alle anderen hier vorgeschlagenen Lösungswege und die gesuchten Nullstellen können nun abgelesen werden.

Comments

Meinen Glückwunsch zu dieser Lösung.
Man muß aber erst " einen Blick " dafür haben.

Answer 2

Suche ein Nullstelle und führe eine Polynomdivision durch. x = 1 bietet sich an.

Es bleibt:

x^3-x^2-9x+9 = (x-1)*(x^2-9)

Jetzt den dritten binomi hinten erkennen und man hat die drei Nullstellen:

x_(1) = 1

x_(2) = -3

x_(3) = 3

Grüße

Answer 3

Zuerst eine Nullstelle finden (bei 9: kann geteilt werden durch +-9 +-3+-1) und dann Polynomdivision durchführen

Lösung: (x-3)(x-1)(x+3)=0

hier eine kleine Hilfe:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/faktorpolynom.htm

Answer 4

x³-x²-9x+9=0

Das ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und deswegen gibt es sicher 3 Nullstellen also gleich viele wie der Grad des Polynoms selbst ist.

Dazu ist es so, dass die erste Nullstelle gefunden werden kann, indem du einen Teiler von 9 also vom a0 des Polynoms probierst hier:

1,-1,3,-3,9,-9

Mit diesen kannst du eine Polynomdivision durchführen mit p(x) / (x-x₀)

Dann ist der Grad des Polynoms um eines kleiner und dann kannst du mit der Mitternachtsformel die weiteren herausfinden oder mit geschicktem schauen ob es mit der Binomischen Formel etwas gibt.

Anstatt der Polynomdivision könntest du es auch mit dem Hornerschema machen, geht schneller musst es aber kennen!

Comments

"Das ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und deswegen gibt es sicher 3 Nullstellen also gleich viele wie der Grad des Polynoms selbst ist."

Den Beweis dazu würde ich mal gerne sehen ...