Lagrange-Multiplikator: Nebenbedingung aufstellen?

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen, das Kindergeburtstage organisiert, möchte in den Sommerferien
30 Kindergeburtstage so kostengünstig wie möglich anbieten. Bei der Organisation
eines Kindergeburtstags entstehen Kapital- und Arbeitskosten. Eine Einheit Kapital
(x) kostet 1 EUR, eine Einheit Arbeit (y) kostet 20 EUR. Unter Verwendung von x
Einheiten Kapital und y Einheiten Arbeit kann das Unternehmen √x +y 
Kindergeburtstage organisieren.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die optimalen Werte für x
und y.

Problem/Ansatz:

Brauchte Hilfe bei der Nebenbedinung:
Denke man so oder?

30-30x-600y

Comments

Soll das \(\sqrt{x+y}\) heißen?

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Warum lautet es vermutlich nur √x + y ?

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Es ist einfach nur √x + y

Answer 1

immer der gleiche Ablauf. Du hast \(L(x,y,\lambda)=x+20y+\lambda(\sqrt{x}+y-30)\).

(1) Bilde die partiellen Ableitungen:$$\frac{\partial L}{\partial x}=1+\frac{\lambda}{2\sqrt{x}}=0$$$$\frac{\partial L}{\partial y}=20+\lambda=0$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=\sqrt{x}+y-30=0$$ Multipliziere \(\frac{\partial L}{\partial x}\) mit \(|\cdot 2\sqrt{x}\) und ziehe es von \(\frac{\partial L}{\partial y}\) ab. Daraus folgt:$$2\sqrt{x}-20=0 \quad |+20$$$$2\sqrt{x}=20 \quad |:2$$$$\sqrt{x}=10 \quad |\uparrow ^2$$$$x=\colorbox{#ffff00}{100}$$Und damit \(x\vdash y\):$$y=30-\sqrt{100}=\colorbox{#42f4e8}{20}$$

Comments

Multipliziere ∂L∂x mit |⋅2x−−√ und ziehe es von ∂L∂y ab. Daraus folgt:
2x√x−20=0|+20

Was ist denn mit der 1 passiert?

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$$1+\frac{\lambda}{2\sqrt{x}}=0 \quad |\cdot 2\sqrt{x}$$$$2\sqrt{x}+\lambda=0$$ Wenn du das nun von \(\frac{\partial L}{\partial y}\) abziehst, so erhältst du \(2\sqrt{x}-20=0\)

Answer 2

L(x,y,λ) = x+20y +λ(√x  + y  - 30 )

L_x= 1 +λ/ (2√x )

L_y =  20 + λ

L_λ = √x  + y  - 30

L_y = 0  ==>   - 20 =  λ

damit in L_x=0 gibt    1 - 20/ (2√x ) = 0

                               <=>  1 =20/ (2√x )

                       <=>  2√x =20

                             <=>  √x =10

                            <=>  x =100

mit der Nebenbeding.    10 + y = 30

                                                     y = 20

Answer 3

Die Nebenbedingung ist

√x+y=30

Hier eine Lösung von meinem Freund Wolfram.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+1x%2B20y+with+%E2%88%9Ax%2By%3D30

min{1 x + 20 y|sqrt(x) + y = 30} = 500 at (x, y) = (100, 20)

Comments

Versteh nur Bahnhof ........

Also die Funktion ist jetzt :

L(x,y,λ)=1x+20y+λ(√x-y)

dl/dx=1-1/2λ^-1/2
dl/dy=20-λ
dl/dλ=1/2x^-1/2-y

Wie stell ich denn hiern LGS auf?

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L(x,y,λ)=1x+20y+λ(30-√x-y)

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So sieht das doch gut aus

L(x, y, λ) = 1·x + 20·y + λ·(30 - √x - y)

Jetzt die partiellen Ableitungen bilden und Null setzen. Ich mache mal nur die ersten weil die Nebenbedingung kennst du ja.

L'x(x, y, λ) = 1 - λ/(2·√x) = 0

L'y(x, y, λ) = 20 - λ = 0

Das kann man nun leicht lösen