Nebenbedingung und Lagrange-Funktion aufstellen

Question

Aufgabe:

P(x,y)= 8*x^(1/9)*y^(1/7)

Unter Einsatz der Mengen x und y zweier Rohstoffe werden q=7500 Einheiten eines Produktes gemäß der Produktionsfunkion P(x,y) hergestellt.

Eine Einheit des 1. Rohstoffes kostet 120€, eine Einheit des 2. Rohstoffes 30€.

Stellen Sie die Lagrange-Funktion zur Bestimmung der minimalen Kosten für diese Produktion auf.
Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst versucht die Nebenbedingung aufzustellen und bin dabei wie folgt vorgegangen:

8*120*x^(1/9)*30*y^(1/7)=7500

Das habe ich dann noch etwas vereinfacht und es dann gleich 0 gesetzt, also die Funktion auf die andere Seite gebracht, sodass letztendlich als Nebenbedingung herauskam: 7500-960*x^(1/9)*30*y^(1/7)=0

Daraus hab ich dann die Lagrange-Funktion gebildet:

L(x,y, lambda)= 8*x^(1/9)*y^(1/7)+ lambda * (7500-960*x^(1/9)*30*y^(1/7))

Meine Frage ist im Prinzip nur, ob das Ganze so richtig ist oder ob ich irgendwo Fehler gemacht habe, bisher war die Nebenbedingung immer schon von vorneherein gegeben, deshalb bin ich mir da beim aufstellen noch unsicher und wäre dankbar für eine Antwort.

VG :)

Answer 1

L(x, y, k) = 120·x + 30·y - k·(8·x^(1/9)·y^(1/7) - 7500)

Comments

Hi, vielen Dank dir aufjeden Fall, das hat definitiv geholfen.

Trotzdem haben sich bei mir jetzt gerad noch 2 Fragen aufgetan, ich glaube, das liegt aber tatsächlich hauptächlich an der Uhrzeit und meinem heutigen Arbeitspensum, bin glaube ich einfach nur etwas durcheinander gerad.

1. Wo kommt das Plus zwischen 120x und 30y her, in der Produktionsfunktion findet ja nur eine Multiplikation statt?.

2. Wo kommt das Minus vor der Multiplikation des Lagrange-Multiplikators mit der Nebenbedingung her, soweit ich mich nicht komplett vertue, kenn ich das ganze bisher ausschließlich mit plus.?

ich weiß, es sind sehr simple Fragen und ich bin mir ziemlich sicher, dass ich da gerad einfach auf dem Schlauch stehe und es eigtl klar sein sollte- nichtdestotrotz hab ich gerad irgendwie eine Denkblockade, weshalb ich erneut sehr dankbar wäre, würde mir jemand auf die Sprünge helfen.

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Die Kosten bestimmst du über 120·x + 30·y ist das nicht klar?

Die Kosten haben auch erstmal überhaupt nichts mit der Produktionsfunktion zu tun.

Ob du die vor dem Lagrange-Faktor ein Plus oder minus hast ist erstmal egal. Du bekommst im Zweifel nur bei k ein anderes Vorzeichen heraus.