Knobelaufgabe Ableitung, Gradient und Nebenbedingung und Lagrange.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten Fünfecke, die entstehen, wenn man ein gleichschenkliges Dreieck „bündig" an ein Rechteck „anlegt" (siehe nebenstehende Abbildung).
Bestimmen Sie die Seitenlängen \( x, y, z \) (vergleiche die Abbildung) eines solchen Fünfecks mit maximalem Flächeninhalt zu vorgegebenen Umfang \( U \).

$$ A =  xy + \frac{x}{4} * \sqrt{ 4z^2 - x^2} $$

$$ U = x + 2(y+z) $$

Lagrange Multiplikator:

$$  f(x,y,z,λ) = xy + \frac{x}{4} * \sqrt{ 4z^2 - x^2} + λ(x + 2(y+z)) $$

$$ \nabla f = 0 $$ kommt false im TR raus, hat jemand die Lösung?

$$  f_x (x,y,z,λ) = \frac{4z^2 - x^2}{4} - \frac{x^2}{4*\sqrt{4z^2-x^2}} + y + λ $$

$$ f_y (x,y,z,λ) = x+ 2 λ $$

$$ f_z (x,y,z,λ) = \frac{zx}{\sqrt{4z^2-x^2}} + 2λ  $$

$$ f_λ (x,y,z,λ) = x+ 2 (y+z) $$

Answer 1

Wo ist Dein U abgeblieben?

Tut Dein TR auch CAS? Was soll bei 0 Umfang auch raus kommen ;-)?

$$ \small   \left\{ x = 0, y = \frac{-1}{2} \; U, z = U, \lambda = 0 \right\} \\  \left\{ x = 0, y = \frac{1}{6} \; U, z = \frac{1}{3} \; U, \lambda = 0 \right\} \\  \left\{ x = U \; \left(\sqrt{3} + 2 \right), y = \frac{1}{6} \; U \; \left(\sqrt{3} + 3 \right), z = \frac{1}{3} \; U \; \left(-2 \; \sqrt{3} - 3 \right), \lambda = \frac{1}{2} \; U \; \left(-\sqrt{3} - 2 \right) \right\} \\ \left\{ x = U \; \left(-\sqrt{3} + 2 \right), y = \frac{1}{6} \; U \; \left(-\sqrt{3} + 3 \right) , z = \frac{1}{3} \; U \; \left(2 \; \sqrt{3} - 3 \right), \lambda = \frac{1}{2} \; U \; \left(\sqrt{3} - 2 \right) \right\}   $$

U=24

\(KritPkte \, :=  \, \left\{ \left(0, -12, 24 \right), \left(6.43, 5.07, 3.71 \right) \right\} \)

Answer 2

\( A =  xy + \frac{x}{4} * \sqrt{ 4z^2 - x^2} \) soll maximal werden.

\( A =  xy + \frac{1}{4} * \sqrt{ 4x^2*z^2 - x^4} \)

\( U = x + 2y+2z \)→\(   z= \frac{U-x-2y}{2} \)→\(  z^2= \frac{(U-x-2y)^2}{4} \)

\( A =  xy + \frac{1}{4} * \sqrt{ x^2* (U-x-2y)^2 - x^4}\)

Ohne Lagrange:

\( \begin{array}{l} \frac{d A}{d x}=y+\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x \cdot(U-x-2 y)^{2}+x^{2} \cdot 2 \cdot(U-x-2 y) \cdot(-1)-4 x^{3}}{2 \cdot \sqrt{x^{2} \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{4}}} \\ \frac{d A}{d x}=y+\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{2} \cdot(U-x-2 y)-2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{4}}} \\ \frac{d A}{d y}=x+\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \cdot 2 \cdot(U-x-2 y) \cdot(-2)}{2 \cdot \sqrt{x^{2} \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{4}}} \\ \frac{d A}{d y}=x+\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \cdot(2 x+4 y-2 U)}{\sqrt{x^{2} \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{4}}} \end{array} \)
1. \( y+\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{2} \cdot(U-x-2 y)-2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{4}}}=0 \)
2. \( ) x+\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \cdot(2 x+4 y-2 U)}{\sqrt{x^{2} \cdot(U-x-2 y)^{2}-x^{4}}}=0 \)
Mit \( U=100 \) :
Mit Wolfram:
\( \begin{array}{l} x=100 \cdot(2-\sqrt{3}) \rightarrow \rightarrow x=U \cdot(2-\sqrt{3}) \\ y=50-\frac{50}{\sqrt{3}} \rightarrow \rightarrow y=0,5 U-\frac{0,5 U}{\sqrt{3}} \end{array} \)