Lagrange Ableitung (Nebenbedingung)

Question

Aufgabe:

Das Produktionsergebnis P einer Firma wird durch die Personalkosten x und den
Sachkosten y durch folgende Funktion beschrieben:
P(x,y)=6 * x^2/5 * y^3/5 
Für die Personalkosten und die Sachkosten können insgesamt 100 GE verwendet
werden.
Wie sind diese auf x und y aufzuteilen, um ein maximales Produktionsergebnis zu
erzielen? Bestimmen Sie das Maximum mit dem Verfahren von Lagrange.
Der Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt, muss nicht erbracht werden

Problem/Ansatz:

P(x,y)=6 * x2/5 * y3/5

L(x,y,λ)=6 * x2/5 * y3/5 - λ(100-x-y)

dLdx=2,4x^-3/5*y^3/5 - λ

dLdy=x^2/5_*   3,6y^-2/5  - λ

dLdλ= 100-x-y

1) 2,4x^-3/5*y^3/5 - λ

2)x^2/5*  3,6y^-2/5  - λ    | + 1) * (-1)

_________________________________

3)-2,4x^-6/25*3,6y^-6/25

^{Wenn ich jetzt weiter machen würde, käme ja raus das 3,6y^-6/25 =0}

^{So die Frage ob jemand eine Idee hätte wie ich das geht} 

^{Lösung:
X= 40
Y= 60}

Answer 1

Fehler ist erst mal hier

dLdx=2,4x^(-3/5)*y^(3/5) + λ

dLdy=x^(2/5)*   3,6y(-2/5)  + λ

und dann nach subtrahieren

2,4x^(-3/5)*y^(3/5) - x^(2/5)*   3,6y(-2/5)  = 0   | * y(2/5)

2,4x^(-3/5)*y - x^(2/5)*   3,6  = 0        | * x^(3/5)

2,4*y - x*   3,6  = 0

   y = 1,5*x

und damit weiter in 100-x-y=0 gibt die

Lösung.

Answer 2

dLdx=2,4x^-3/5*y^3/5 - λ

Korrekt ist

        dL/dx=2,4x^-3/5*y^3/5 + λ.

Weil du diesen Fehler in allen drei partiellen Ableitungen gemacht hast, hat das keinen Einfluss auf die Richtigkeit des Endergebnisses.

        \(\begin{aligned} \frac{12}{5}x^{-\frac{3}{5}}\cdot y^{\frac{3}{5}}+\lambda & =0 &  & |\,-\lambda\\ \frac{18}{5}x^{\frac{2}{5}}\cdot y^{-\frac{2}{5}}+\lambda & =0 &  & |\,-\lambda\\ -100+x+y & =0\\ \\ \frac{12}{5}x^{-\frac{3}{5}}\cdot y^{\frac{3}{5}} & =-\lambda &  & \text{in II einsetzen}\\ \frac{18}{5}x^{\frac{2}{5}}\cdot y^{-\frac{2}{5}} & =-\lambda\\ -100+x+y & =0 &  & |\,+100-x\\ \\ \frac{12}{5}x^{-\frac{3}{5}}\cdot y^{\frac{3}{5}} & =-\lambda\\ \frac{18}{5}x^{\frac{2}{5}}\cdot y^{-\frac{2}{5}} & =\frac{12}{5}x^{-\frac{3}{5}}\cdot y^{\frac{3}{5}} &  & |\,\cdot y^{\frac{2}{5}}\cdot x^{\frac{3}{5}}\\ y & =100-x\\ \\ \frac{12}{5}x^{-\frac{3}{5}}\cdot y^{\frac{3}{5}} & =-\lambda\\ \frac{18}{5}x & =\frac{12}{5}y\\ y & =100-x &  & \text{in II einsetzen}\\ \\ \frac{12}{5}x^{-\frac{3}{5}}\cdot y^{\frac{3}{5}} & =-\lambda\\ \frac{18}{5}x & =\frac{12}{5}\left(100-x\right) &  & \implies x=40\\ y & =100-x &  & \implies y=60 \end{aligned}\)