\(y= \sqrt{x+1} \)
\(f(x,y)=y- \sqrt{x+1} \)
Gesuchter Kreis k: \(x^2+y^2=r^2\) um den Ursprung berührt \(f(x)=\sqrt{x+1} \) im Berührpunkt . Die Steigungen beider Tangenten müssen dort gleich groß sein.
Weg über die implizite Ableitung:
\(k(x,y)=x^2+y^2-r^2\)
\(k_x(x,y)=2x\)
\(k_y(x,y)=2y\)
1.) \(k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x}{y}\)
\(f(x,y)=y- \sqrt{x+1} \)
\(f_x(x,y)=- \frac{1}{2\sqrt{x+1} }\)
\(f_y(x,y)=1 \)
2.) \(f'(x)=-\frac{- \frac{1}{2\sqrt{x+1} }}{1}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)
\(-\frac{x}{y}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)
\(y=-2x\sqrt{x+1} \)
\(\sqrt{x+1}=-2x\sqrt{x+1} |^{2} \)
\(x+1=4x^2(x+1) \)
\(4x^2(x+1)-(x+1)=0 \)
\((x+1)(4x^2-1)=0 \)
\(x_1=0 \) \(y(0)=1\)
Probe:
\(x^2+y^2=r^2\) → \(1=r^2\) \(x^2+y^2=1\) Ist der Einheitskreis um den Ursprung. Stimmt nicht. Hier ist der Abstand maximal.
\(4x^2=1 \)
\(x_2=\frac{1}{2} \) \(f(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(x^2+y^2=r^2\) → \(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{7}{4}=r^2\)Stimmt nicht.
Probe:
\(x_3=-\frac{1}{2} \) \(f(-\frac{1}{2})=\sqrt{-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(x^2+y^2=r^2\) →\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}=r^2\)✓
\(x^2+y^2=\frac{3}{4}\)
