Matrix aus Eigenwerte und Eigenvektor bestimmen?

Question

Brauche Hilfe bei einer Frage.

Gegeben: Matrix A mi lAl =  8

Lambda1 = 1 und Lambda2 = 2

Eigenvektoren : X1=(2.1.-1)  X2=(0,1,1)

Frage: geben sie A an! Wie kann ich das Problem lösen ?

Danke für die Hilfe !!!!

Comments

Bezeichne die entsprechenden normierten Eigenvektoren mit \(x_1\) und \(x_2\). Finde einen normierten Vektor \(x_3\), der senkrecht auf \(x_1\) und \(x_2\) steht. Sei \(T\) die Matrix, deren Spaltenvektoren aus \(x_1,x_2,x_3\) bestehen. Sei \(D=\operatorname{diag}(1,2,4)\). Dann gilt \(A=T\cdot D\cdot T^{-1}\).

Answer 1

Der dritte Eigenwert ist damit 4. 

Ein Eigenvektor zu 4 ist denn jeder Vektor der zusammen mit X1 und X2 eine Basis des drei-dimensionalen Raums bildet. 

Damit hast du sowohl Diagonal- als auch Transformationsmatrix und kannst damit A berechnen.

Comments

Danke für den Hinweis !

Nun komm ich auf den dritten Eigenvektor: x3 (2, -2,2)

Da es sich um eine Symmetrische Matrix handelt komm ich dann auf das Gleichungssystem:

2a+b-c= 2

2b+d-e= 1

2c+e-f= -1

b+c=0

d+e=2

e+f=2

a_b+c=4

b-d+e=-4

c-e+f=4 

Stimmt das soweit ? bzw. komm ich dann leider nicht auf das richtige Ergebnis....

Gibt es eigentlich auch einen Kürzeren Weg die Matrix durch die Eigenwerte bzw. Eigenvektoren zu bestimmen !!

---

"Ein Eigenvektor zu 4 ist denn jeder Vektor der zusammen mit X1 und X2 eine Basis des drei-dimensionalen Raums bildet."

Sicher?

@Fragesteller: Von einer symmetrischen Matrix hast du in deiner Frage noch nichts gesagt.

---

Tut mir leid ... Mien Fehler !!

Laut angabe handelt es sich um eine Symmetrische-Matrix