Eigenwerte bekannt- Eigenvektor berechen

Question

Aufgabe:

$$\left( \begin{array}{lll}{1} & {2} & {2} \\ {2} & {1} & {2} \\ {2} & {2} & {1}\end{array}\right)$$

Eigenvektoren berechnen.

Eigenwerte sind : -1,-1,5

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist , dass wenn ich den Eigenwert -1 einsetze um den Eigenvektor zu berechnen , ich eine 3x3 Matrix mit nur 2en als Einträgen habe , weshalb ich Gauß darauf nicht (für mich ) sinnvoll einsetzten kann.

Kurze Frage noch:

$$\begin{array}{l}{x_{1}=-x_{2}-x_{3}} \\ {x_{2}=x_{2}} \\ {x_{3}=x_{3}}\end{array}$$

Wieso ist X2 denn nicht -X1-X2 , sowie X3 nicht -X1-X2?

Die Lösungen sind:

\( \left( \begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \) und \( \left( \begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right) \)

Answer 1

Die 2. und 3. Gleichung besagen doch nur

x2 und x3 sind beliebig, etwa s und t.

Dann gilt wegen der 1. Gleichung x1 = -s - t

also sind die Lösungen

( -s -t ; s ; t ) = s* ( -1 ; 1 ; 0 ) + t*( -1 ; 0 ; 1 )

und da erkennst du die Basisvektoren.