Polardarstellung komplexer Zahlen mit negativem Sinus bzw. Cosinus?

Question

Hi allerseits, bisher habe ich bei der Umwandlung in die Polardarstellung nur das Argument (den Winkel) berechnet und in r*(cos(phi)+i*sin(phi)eingesetzt. Aber kann es eigentlich nicht mal sein, dass cosinus oder der sinus negativ ist? Also beispielsweise: 2*(-cos(2π)-i*sin(2π) oder auch 2*(-cos(2π)+i*sin(2π). Ich wollte fragen, wie man das erkennen kann, wann der Cosinus bzw. Sinus negativ sein muss und in diesem Zusammenhang würde ich auch gerne wissen, welche Auswirkungen es auf die Polardarstellung in der eulerschen Form hat. 

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Also als Beispiel: z1= (0.5*(1/Wurzel(2)-i*(1/Wurzel(2))

Daraus lässt sich ja ablesen, dass cos(phi)= 1/Wurzel(2)  und sin(phi)=-1/Wurzel(2)

Mit dem Blick auf die Sinus/Cosinus Tabelle weiß man dann, dass der Winkel 7pi/4 beträgt. Meine  Frage wäre jetzt, ob sinus dann bei der Polardarstellung negativ sein müsste, alsi -i*sinus... 

Answer 1

Der Sinus und der Cosisus selbst können ja schon negativ werden. Damit braucht in der Formel nur immer ein plus zu stehen.

Du bekommst über die Richtigen Winkel dann automatisch positive und negative Werte.

Comments

Was meinst du genau mit "richtigen Winkeln"? Könntest du mir das an einem Beispiel zeigen?

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Hm. Nimm einfach die Formel

z = r·(COS(α) + i·SIN(α))

Setzt für r eine Länge von 2 ein ein für α nimmst du Werte zwischen 0° und 360° in der Schrittweite von 45°. Schreib dann mal alle Werte auf die du erhältst.

Das sollte in etwa so aussehen

[0, 2;
45, √2·i + √2;
90, 2·i;
135, √2·i - √2;
180, -2;
225, - √2·i - √2;
270, - 2·i;
315, √2 - √2·i;
360, 2]

Bitte zuerst selber ausrechnen.