Differenzialrechnung. Heisser Tee kühlt bei 20° Raumtemperatur ab.

Question

Aufgabe:

In eine Tasse Tee wird \( 90^{\circ} \mathrm{C} \) heißer Tee eingeschenkt. Der Tee kühlt auf die Zimmertemperatur von \( 20^{\circ} \mathrm{C} \) ab.

Die Funktion h mit \( h(t)=a+b e^{-0.2 t} \) beschreibt diesen Abkühlvorgang. Dabei ist t die Zeit in Minuten und \( h(t) \) die Temperatur in \( ^{\circ} C \).

a) Bestimmen sie a und b. Skizzieren Sie das Schaubild von h.

b) Berechnen Sie die Zeit, die vergeht, bis der Tee auf Trinktemperatur \( \left(50^{\circ} \mathrm{C}\right) \) abgekühlt ist.

c) Berechnen Sie die momentane Anderungsrate der Temperatur in \( \mathrm{t}=1 \) und in \( \mathrm{t}=10 \)
Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

d) Die Temperatur nimmt höchstens um 14 °C pro Minute ab. Überprüfen Sie diese Behauptung.

Comments

Mir scheint in den Grundaussagen fehlt die Angabe von h ( t ) = 20
die Angabe von  t zu fehlen.

h ( 0 ) = a + b * e^{-0.2*0} = 90
a + b = 90

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Wir haben so zum teil angefangen

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t=0: h(0)=a+b=90
t=unednl. h(unendl)=a=20

--> b=70

Answer 1

Hallo je2133,

  dir ist gegeben

  h ( t ) = a + b * e^{-0.2*t}

  Außerdem die Temperatur zu Anfang
  h ( 0 ) = 90
  und die Temperatur auf die das Getränk zum Schluß, mathematisch nach einer
unendlich langen Zeit, abkühlt. Auf die Raumtemperatur von 20 °.
  Ich schreibe diesen Sachverhalt etwas einfacher

h ( ∞ ) = 20

h ( 0 ) = a +  b * e^{-0.2*0} = a + b * e^{0} = a + b = 90

h ( ∞ ) = a + b * e^{-0.2*∞} = a + b * e^{-∞} = a + b * 0 = a = 20

Es bleibt
a = 20
a + b = 90  => b = 70

h ( t ) = 20 + 70 * e^{-0.2*t}

~plot~    20+70*e^{-0,2*x} ; [[ 0 | 25 | 0 | 95 ]] ~plot~

Geht gleich weiter.

Comments

Hallo Georg,

das ist wirklich ein schönes Koordinatensystem :-)

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,
ich bin zur Zeit noch im Kampf mit Editor und Plotter.
mfg Georg

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Habe den Kampf mit dem Einfügen von  Plotterbildern, die andere offensichtlich problemlos einfügen können, aufgegeben und benutze nur noch meinen eigenen Plotter. Da funktioniert das Hochladen problemlos :-)

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b.)
h ( t ) =  20 + 70 * e^{-0.2*t} = 50
20 + 70 * e^{-0.2*t} = 50
70 * e^{-0.2*t} = 30
e^{-0.2*t} = 30 / 70  | ln ( )
-0.2 * t = ln ( 30 / 70 )
t = 4.24 min

c.)
h ´( t ) = 70 *  e^{-0.2*t} * ( -0.2 )
h ´ ( 1 ) =  70 *  e^{-0.2*1} * ( -0.2 ) = -11.46 ° / min
h ´ ( 10 ) = ?

d.)
Aus der Skizze wird ersichtlich das die höchste Änderungsrate
bei t = 0 ist
h ´( 0 ) =  70 *  e^{-0.2*0} * ( -0.2 ) = 70 * 1 * (-0.2) = -14 ° / min

-14 entspricht  : 14 ° / min Abnahme

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Hallo Wolfgang,

der Plotter ist im Prinzip gar nicht einmal so schlecht
und man bräuchte auch nicht in ein eigenes Mathe- oder
Plotterprogramm zu wechseln und dann kopieren usw.

Leider habe ich sicherlich schon manchmal mehr als die
5 - fache Zeit gebraucht um eine Grafik richtig hinzubekommen
als bei meinem Matheprogramm.

mfg Georg

Answer 2

a) Aus \(h(0) = 90\) und \( \lim \limits_{t \to \infty} h(t)= 20 \) folgt

$$ a= 20 \wedge b = 70 $$

b) Berechne \(t\) für \(h(t) = 50 \).

c) Berechne \(h'(1)\) und \(h'(10)\). Du erhältst jeweils die momentane Abkühlgeschwindigkeiten zu diesen Zeitpunkten.

d) Da \(h'(t)\) streng monoton wachsend ist und immer kleiner als 0 ist gilt: Maximale Abkühlgeschwindigkeit im betrachteten Zeitraum bei \(t=0\).

Gruß

Comments

Hallo yakyu,

auf die Idee t = ∞ anzunehmen muß man aber auch erst einmal
kommen.

Physikalisch und von der eigenen Erfahrung ist auch nach einer
endlichen Zeit kein Unterschied in der Raumtemperatur und
der Flüssigkeitstemperatur mehr meßbar oder fühlbar.

mfg Georg