vektor finden der senkrecht auf 3 anderen steht

Question

ich habe die drei vektoren a1=(1,1,0,1,2)^T

a2=(1,0,2,0,4)^T
und a3= (0,0,1,0,1)^T gegeben.
es soll jetzt ein Vekor b=/= 0 angegeben werden, der senkrecht auf diesen 3 vektoren steht.

Wie geht man da vor?

Answer 1

Löse das homogene LGS$$\begin{pmatrix}1&1&0&1&2\\1&0&2&0&4\\0&0&1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v\\w\\x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

Comments

hm und dann ? habe ja jetzt eine "unendliche" Lösungsmenge raus .. also was parameterabhängiges

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Such dir davon einen aus, z.B. b = (0,1,0,-1,0)^T.

Answer 2

  Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, doch eigentlich trivial. Senkrecht Stehen heißt: Das Skalarprodukt verschwindet; kann ich voraus setzen, wie dieses gebildet wird? In jedem Falle landesT du bei einem homogenen LGS .




    <  b  |  a3  >  =  x3  +  x5  =  0       (  3a  )

     b  =  (  x1  |  x2  |  x3  |  x4  |  -  x3  )      (  3b  )

    <  b  |  a2  >  = x1  +  2  x3  +  4  x5  =       (  2a  )

                          =  x1  +  2  x3  -  4  x3  =       (  2b  )

                          =  x1  -  2  x3  =  0  ===>  x1  =  2  x3     (  2c  )

    b  =  (  2  x3  |  x2  |  x3  |  x4  |  -  x3  )            (  2d  )

   <  b  |  a1  >  =  x1  +  x2  +  x4  +  2  x5  =      (  1a  )

                          =  2  x3  +  x2  +  x4  -  2  x3  =    (  1b  )

                           =  x2  +  x4  =  0  ===>  x4  =  -  x2   (  1c  )

  b  =  (  2  x3  |  x2  |  x3  |  -  x2  |  -  x3  )            (  2d  )

Comments

  Da der Vektor senkrecht stehen soll auf einem 3 D Unteraum, landest du ergo a tergo bei einer zweidimensionalen Hyperebene. Diese wird aufgespannt von zwei Richtungsvektoren je nachdem. ob du den Koeffizienten x2 oder x3 Null setzt:



     b1  =  (  2  |  0  |  1  |   0  |  -  1  )      (  2.1  )

     b2  =  (  0  |  1  |  0  |  -  1  |  0  )     (  2.2  )



    Schick; b1 und b2 stehen sogar senkrecht aufeinander.

Answer 3

Der Vektot (2,-2,1,2-1)^T steht senkrecht auf den anderen dreien. Gefunden habe ich ihn so: Ansatz (1.-1,a,b,c)^T. Das ergibt drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Ergebnis mit 2 multiplizieren, damit kein Brüche vorkommen