Flächeninhalt der Menge G berechnen. G :={(x,y) ∈ ℝ^2 | x=rcos(φ), y=rsin(φ), 0≤r≤φ, 0≤φ≤4π}

Question

Gegeben ist die Menge

G :={(x,y) ∈ ℝ^2 | x=rcos(φ), y=rsin(φ), 0≤r≤φ, 0≤φ≤4π}

Bestimmen Sie den Flächeninhalt von G.

Mir ist klar, dass die Aufgabe bereits in Polarkoordinaten angegeben ist. Nun muss ich meine Integrationsgrenzen bestimmen.

Mein Ansatz :

$$ \int _ { 0 } ^ { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \phi } 1 ^ { * } r d r d \phi $$

In der Musterlösung wird aber von 2pi bis 4pi integriert (äußere Grenze). Wieso ist das der Fall?

Comments

Der Grund ist folgender: weil φvon 0 bis 4 Pi läuft, wird ein Teil der Fläche doppelt überstrichen, also auch doppelt hinzuaddiert.Damit würde die tatsächliche Fläche künstlich vergrößert werden.

Answer 1

G :={(x,y) ∈ ℝ² | x=rcos(φ), y=rsin(φ), 0≤r≤φ, 0≤φ≤4π}  ist eine zusammenhängende 

Punktmenge, die deswegen mathematisch sinnvoll eine Fläche beschreibt.

G :={(x,y) ∈ ℝ² | x=rcos(φ), y=rsin(φ), 0≤r≤φ, 2π≤φ≤4π} beschreibt die gleiche Punktmenge.

In ersterer sind aber - völlig überflüssigerweise - die Punkte der Teilmenge

G_T :={(x,y) ∈ ℝ² | x=rcos(φ), y=rsin(φ), 0 ≤ r ≤ φ , 0≤ φ< 2π } doppelt aufgezählt. 

[ Edit nach Kommentar von Lu ]

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang meint hier:

 "Teilmenge

G_T :={(x,y) ∈ ℝ² | x=rcos(φ), y=rsin(φ), 0≤r≤φ, 0≤φ<2π} doppelt aufgezählt."