Ich hatte eben leider einen WLAN Absturz. Ich muss also meine Sicherungskopie aus Word hochladen. Dieser Editor ist ja noch schlechter als selbst bei " gute Frage " , wo sie meinen Textpuffer so lange zwischen speichern. Schlechter als bei Ly cos ohnehin; ( Ly cos ist Word kompatibel und erkannte schon immer Absätze. )
Mit den Absätzen scheint's ja jetzt zu klappen; trotzdem zur Sicherheit. Ich markiere die wichtigsten Absätze vor und nach den Gleichungen, damit du das Dokument notfalls einscannen kannst.
Die Antwort des Mathecoach halte ich für voll Unangemessen. Keines Falls dürfen wir die Symmetrie dieses Polynoms außer Acht lassen. Schau dir mal den Kurvenverlauf in Wolfram an. Schon aus der Grafik erkennst du eine W-Kurve, die Achsen symmetrisch gegen ihr Maximum verläuft - obwohl ja die Anschauung bekanntlich trügt.
Polynome gerader Ordnung können wenn überhaupt nur Achsensymmetrie aufweisen - das wisst ihr. Doch was ist das? Wir haben doch hier gerade und ungerade Potenzen gemischt - also angeblich keine Symmetrie.
Diese Auffassung, die euch von den Lehrern vermittelt wird, ist naiv. Wir haben hier wieder mal eine der so beliebten hinreichenden Bedingungen, die aber keines Wegs notwendig sind. Wenn du nur gerade Potenzen hast, also 4 , 2 und 0 ( Absolutglied ) folgt die Symmetrie - aber nicht umgekehrt. Ich meine wir können nicht bis Ostern warten, bis die Symmetrieachse bei x = 0 vorbei kommt. So bald die Achse lautet x = x0 , x0 beliebig, kannst du so auf den ersten Blick aus der Polynomgleichung genau gar nichts entnehmen.
Nutzt uns diese Symmetrie bei der Suche nach den Nullstellen? Mit Sicherheit; wenn nur noch die Potenzen 4 , 2 und 0 überleben, haben wir genau jene biquadratische Funktion ( BQF ) die ihr sonst immer mit dieser z-Substitution löst - sieht das jeder? Und ein erstes Kriterium, wie wir die Achse x0 finden, ist direkt mit Wolfram verknüpft. Notiere doch mal die aufsteigende ===> Folge x < n > der Nullstellen. Absatz
x < n > = < - 1 ; - 1 ; 2 ; 2 > ( 1a )
Absatz. Aus ( 1a ) musst du die ===> Differenzenfolge bilden. Bitte beachten, dass beide Wurzeln doppelt sind, Wolfram gibt sie ja auch so an. Sonst funktioniert mein Kriterium nämlich nicht richtig. Absatz
d < n > := x < n + 1 > - x < n > ; n = 1 , 2 , 3 ( 1b )
= < 0 ; 3 ; 0 > ( 1c )
Absatz. Dann und nur dann, wenn Folge ( 1c ) Spiegel symmetrisch ist gegen den mittelsten Wert, ist das Polynom symmetrisch - also in unserem Falle ja. Und wo genau verläuft dann die Achse? Hier gelten die beiden Mittelwertbeziehungen, Absatz
x0 = 1/2 ( x1 + x4 ) = 1/2 ( x2 + x3 ) = 1/2 ( 1d )
Absatz. ( Dass wir hier entartete, also doppelte Nullstellen haben, ist an sich reiner Zufall; meine Betrachtungen behalten ihre Gültigkeit eben so für vier einzelne Knoten. ) Das ist ja alles ganz gut und schön, werdet ihr einwenden. Aber die Chose hat doch nur dann wirklich Sinn, wenn wir die Symmetriefrage lösen bzw. dieses x0 berechnen können ohne Bezugnahme auf irgendwelche Nullstellen. ( Vielleicht gibt es im konkreten Fall auch mal gar keine reellen. ) Und jetzt habe ich euch da, wo ich euch die ganze Zeit schon haben wollte. Stichwort ===> Taylorentwicklung. Das findet ihr sicher in Wiki; für Polynome lässt sich die Taylorformel sogar elementar beweisen, wer Nachholbedarf anmeldet. Weshalb sich das hier anbietet: Taylor ist die Standardmetode, wenn du den Nullpunkt der Abszisse nach x0 verschiebst und willst wissen, wie ändern sich dadurch meine Polynomkoeffizienten? Absatz
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + ( h ³ / 3 ! ) f(³) ( x0 ) + h ^ 4 ( 2a )
wobei wie üblich gesetzt wurde
h := x - x0 ( 2b )
Absatz Der Term 4. Ordnung ist " invariant " , wie man das so schön nennt. D.h. er kommt immer gleich raus unabhängig von der Wahl von x0 ( ===> Leitkoeffizient ! ) Dies ist die tiefere Ursache, warum dieses gerade Polynom niemals ungerade Symmetrie haben kann. Und die ungeraden Glieder?
Denken wir nach; die 3. Ableitung eines Polynoms 4. Grades ist selbst vom ersten Grade, also linear. Und lineare Gleichungen lösen, das können wir. Es gibt ein und nur ein spezielles x0 so dass - Absatz
f(³) ( x0 ) = 0 ( 3a )
Um dieses x0 wollen wir die Funktion nun entwickeln. Absatz
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 3b )
Absatz.Unser Ziel ist die gerade Symmetrie, aber irgendwo bleiben wir stecken. Weitere Optionen für x0 haben wir nicht, und darum muss auch ein Polynom 4. oder noch höheren Grades gar keine Symmetrie haben. Denn wie sollen wir den zweiten, den in h linearen Term weg schaffen? Alles was wir tun können: zum Allmächtigen beten, dass es zufällig gut gehen möge, Wenn sich x0 rein zufällig auch als Nullstelle der ersten Ableitung erweist; Absatz
f ' ( x0 ) = 0 ( 4a )
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + h ^ 4 ( 4b )
Absatz. Aber irgendwo ist es schon anschaulich. Eine Nullstelle von gerader, also zweiter oder vierter Ordnung, ist immer ein Extremum. Notwendig und hinreichend für Symmetrie ist ( 4a ) ; die erste Ableitung verschwindet. Also entweder ist f " ( x0 ) verschieden von Null; das kennt ihr eh. Hinreichende Bedingung für Extremum. Oder die zweite Ableitung verschwindet eben Falls; die dritte aber sowieso wegen Forderung ( 3a ) Dann ist x0 eine 4-fache Nullstelle ===> Extremum. Summa summarum: Ein Polynom 4.Grades zeigt Symmetrie genau dann, wenn der in ( 3a ) ermittelte kritische Punkt x0 ein Extremum ist; und x = x0 ist dann auch seine Symmetrieachse.
Bisher war alles nur Spaß; und jetzt kommt die Knochenarbeit. Sämtliche 3 Ableitungen deines Ausgangspolynoms. Absatz
f ( x ) := x ^ 4 - 2 x ³ - 3 x ² + 4 x + 4 ( 5a )
f ' ( x ) = 2 ( 2 x ³ - 3 x ² - 3 x + 2 ) ( 5b )
1/2 f " ( x ) = 3 ( 2 x ² - 2 x - 1 ) ( 5c )
1 / 3 ! f(³) ( x ) = 2 ( 2 x - 1 ) ( 5d )
Absatz. Aus ( 5d ) finden wir in Übereinstimmung mit ( 1d ) x0 = 1/2 . Doch die richtige Knochenarbeit liegt erst noch vor uns; Einsetzen von x0 ( Hornerschema ! ) in ( 5a-c ) Ihr gestattet, dass ich mir fas Leben mit Onkel Wolfram etwas erleichtere. Mit jedem Koeffizienten, jedem Durchgang durch das Schema erhöht sich ja die Zweierpotenz im Nenner um Eins. Absatz
f ( x0 ) = 81/16 ( 6 )
( max Zeichen; hoffentlich geht's gut )
