Wie berechne ich nur die spezielle Lösung der DGL y'' + y'+y=ex?

Question

DG: $$y'' + y'+y=e^x$$

Ich würde normalerweise folgendes machen:

Charakteristisches Polynom aufstellen

$$\lambda^2+\lambda+1=0 \rightarrow \lambda_{1,2}=-0,5\pm i \cdot \sqrt{0,75}$$

homogener Lösungsteil: $$y_h=C_1\cdot \sin {\sqrt{0,75}x} + C_2\cdot \cos {\sqrt{0,75}x}$$

Jetzt bleibt die Störfunktin r(x)=e^x übrig

Ansatz: $$y_p=A\cdot e^x\\y_p'=A\cdot e^x\\y_p''=A\cdot e^x \\A\cdot e^x + A\cdot e^x+ A\cdot e^x=e^x \rightarrow 3A=1 \rightarrow A=1/3$$ also die patikuläre Lösung ist

$$y_p=1/3 \cdot e^x\\$$ und die alg. Lösung:

$$y=C_1\cdot \sin {\sqrt{0,75}x} + C_2\cdot \cos {\sqrt{0,75}x}+1/3 \cdot e^x$$

Aber wie berechne ich einfach nur die partikuläre Lösung, ohne die Nullstellen des charak. Polynom zu kennen?

Answer 1

Deine homogene Lösung ist falsch.

Für den Ansatz der part. Lösung sind die Nullstellen des charakt. Polynoms schon wichtig.

Daraus ergibt sich ja der Ansatz für die part. Lösung:

Man bedient sich dabei sog . Tabellen mit Lösungsansätzen: (z.B diese)

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Comments

part. Lösung

siehe 2. Seite; Punkt2 ; 2. Zeile