Seien \( m, n \in \mathbb{N} \) und \( A \in \operatorname{Mat}_{m, n}(K) \).
(1) Erläutern Sie, wie sich elementare Zeilen- und Spaltenumformungen mit Hilfe der Multiplikation von \( A \) mit Matrizen der Form \( E_{i j}(a), T_{i j}, D_{i}(a) \) aus \( \operatorname{Mat}_{m}(K) \mathrm{bzw} \). \( \operatorname{Mat}_{n}(K) \) ausdrücken lassen.
(2) Zeigen Sie: Die \( n \times n \) Matrizen \( E_{i j}(a) \) für \( i \neq j \) und \( a \in K, T_{i j} \) für \( i \neq j \) und \( D_{i}(a) \) für \( a \in K^{\times} \) sind invertierbar, d.h. Elemente der allgemeinen linearen Gruppe \( \mathrm{GL}_{n}(K) \).
(3) Die Teilmenge \( \mathrm{SL}_{n}(K) \subseteq \mathrm{GL}_{n}(K) \), welche aus allen endlichen Produkten \( E_{1} E_{2} \cdots E_{r} \) \( \left(r \in \mathbb{N}_{0}\right) \) von beliebigen Elementarmatrizen \( E_{1}, \ldots, E_{r} \in \mathrm{GL}_{n}(K) \) besteht, bildet eine Untergruppe von \( \mathrm{GL}_{n}(K) \)
Bemerkung. Die Gruppe \( \mathrm{SL}_{n}(K) \) heisst die spezielle lineare Gruppe vom Grad \( n \) ïber \( K \).
