h(t) = 15* sin (π/60*t-π/2) + 20
1)
Um zu entscheiden, ob die Gondel steigt oder sinkt, musst du wissen, ob der Anstieg der Funktion zum gefragten Zeitpunkt positiv oder negativ ist.
h ' (t) = 15* cos (π/60*t-π/2) * π/60 = π/4 * cos (π/60*t-π/2)
h ' (t=80) = π/4 * cos (π/60*80-π/2) = π/4 * cos (5/6π) = -0,68
Die Gondel sinkt also gerade. Die Höhenänderung beträgt -0,68.
2)
Die Geschwindigkeit ist immer die erste Ableitung des Ortes, bzw. in diesem Fall der Höhe.
Also:
v(t) = h ' (t) = π/4 * cos (π/60*t-π/2)
Um die maximale Abwärtsgeschwindigkeit auszurechnen, muss man von dieser Funktion die Minima bestimmen.
v ' (t) = -π^2 / 240 * sin (π/60*t-π/2)
Null setzen:
v ' (t) = -π^2 / 240 * sin (π/60*t-π/2) = 0
sin (π/60*t-π/2) = 0
Der Sinus wird 0 für alle kπ (k∈ℤ):
π/60*t-π/2 = kπ
t = (kπ + π/2)/(π/60) = 60(k+1/2) = 60k+30
Minimum oder Maximum:
v '' (t) = -π^3 / 14400 * cos (π/60*t-π/2)
v '' (t=60k+30) = -π^3 / 14400 * cos (π/60*(60k+30)-π/2)
= -π^3 / 14400* cos (kπ+π/2-π/2)
cos(kπ) = -1 für k=2n+1 (n∈ℤ) ⇒ v '' (t=60k+30) > 0 für k=2n+1 ⇒ Minimum für k=2n+1
tmin = 60*(2n+1)+30 = 120n+90
Zu allen Zeitpunkten tmin = 120n+90 (n∈ℤ) wird die Abwärtsgeschwindigkeit maximal.
Aus physikalischen Gründen ist es vielleicht sinnvoller für n nur die natürlichen Zahlen und 0 zuzulassen, da sonst negative Zeitwerte entstehen.