Eigenwerte der Matrix, Eigenvektoren

Question

kann mir jemand diese Aufgabe erläutern?

Zu 4. a) Hab ich verstanden bis auf den Schritt wo - Wurzel 10 eingesetzt wird. Wieso - Wurzel 10 und nicht +? Und wie wird es da normiert? Kann da nicht sehen was von Zeile zu Zeile gemacht wurde.

Zu 4. b) Bitte Erläuterung der Lösung. Wieso auf einmal A³?

Danke schonmal

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In der Aufgabenstellung steht, dass man die Eigenvektoren zum Eigenwert \(\sqrt{10}\) berechnen soll, deswegen wird dieser auch eingesetzt und nicht ein anderer.

Answer 1

wenn du einen Eigenvektor zu √10 haben willst, heißt das ja

A * Vektor x  =   √10 *  Vektor x   

bzw.

A * Vektor x  =   E*√10 *  Vektor x

wenn du die rechte Seite rüber bringst

( A - E√10) * Vektor x =  0 - Vektor

Du erhältst also ein homogenes Gleichungssystem, wo in der

Diagonale überall  - √10  steht, weil das auf die andere Seite kam.

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zu b) stelle ich mir so vor.
Man hat hat vermutlich erst mal gerechnet A^2 =
1     0     3
0    10    0
3     0      9
und dabei nichts besonderes bemerkt.
Also nochmal mal A, das gab
0   10    0
10   0   30
0    30    0
und da hat irgendein Schlaukopf gemerkt:
Das ist ja genau   10*A .
Also kann man von A^3 = 10*A ausgehen
und dann geht ja alles wie von selbst.

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A³ = 10A gilt nach Cayley-Hamilton.