Aufgabe einer alten Analysis Klausur

Question

Ist mit dieser Aufgabe aus einer Analysis Klausur der Real- und Imaginäranteil gemeint? Oder könnte etwas anderes gemeint sein, und wenn ja was? Mir fällt nicht ein was noch möglich wäre und so eine Formulierung gab's auch noch nie.

1)

a) Berechnen sie \( { (1 + i)  }^{ 2 } \) und \( { (1 + i)  }^{ 3 } \) und  \( \frac { 1 }{ 1+i } \).

b) Geben Sie \( { (1 + i)  }^{ 4n+3 } \) für alle \( {n∈ℕ}_{0} \) an. Beweisen Sie ihre Behauptung.

Answer 1

ja das denke ich

1) (1+i)^2 =1 +2i -1=2i

2) (1+i)^3= -2 +2i

3) 1/(1+i)= 1/2(1-i) ->hier konjugiert erweitern mit (1-i)

Answer 2

Es ist hier natürlich die komplette Komplexe Zahl gemeint.

(1 + i)^2 = 2·i

(1 + i)^3 = 2·i - 2

1/(1 + i) = 0.5 - 0.5·i

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(1 + i)^{4·n + 3} 

= (1 + i)^{4·n} * (1 + i)^{3}

= ((1 + i)^4)^n * (1 + i)^{3}

= (-4)^n * (2·i - 2)