Vollständige Induktion bei Reihen

Question

Zeigen Sie mittels vollst. Induktion:

$$ \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { 1 }{ k }  } \ge \frac { 7 }{ 12 } $$

Durch Indexverschiebung bin ich für A(n+1) auf dieses Ergebnis gekommen, doch wie mache ich da weiter?

$$ \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { 1 }{ k+1 }  }  + \frac { 1 }{ 2n+2 } $$

Answer 1

Nimm doch einfach für A(n+1) die Summe

$$ \sum_{k=n+2}^{2(n+1)}{\frac { 1 }{ k }} $$
$$ = \sum_{k=n+1}^{2n}{\frac { 1 }{ k }}+\frac { 1 }{ 2n+1 }+\frac { 1 }{ 2n+2 }-\frac { 1 }{ n+1 } $$
$$ = \sum_{k=n+1}^{2n}{\frac { 1 }{ k }}+\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+2)}$$
$$> \frac { 7 }{ 12 }+\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+2)} $$
und weil der 2. Bruch positiv ist, ist alles größer 7/12.

Comments

Irgendwie bin ich gar nicht auf die Idee gekommen mal den Startwert zu verringern.