Vergleich von Reihen durch vollständige Induktion (Ungleichung)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
n(n + 1) < (n - 2)!  für alle n => 7 .

Schliessen Sie daraus: lim n^2 - 1 / (n-1)! = 0. 

Problem/Ansatz:

Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll mit vollständiger Induktion.

Kann man eventuell die Bernoulli Ungleichung verwenden?

Wenn ich aber anwende, was ich sonst für vollständige Induktion anwende (n -> n+1), kommt nichts Brauchbares raus.

Dass dann der limes dieses Bruches (was auch immer der mit der Ungleichung zu tun hat?) 0 gibt, ergibt für mich zwar intuitiv Sinn, weil der untere Term schneller wächst als der obere, aber mathematisch begründen kann ich das auch nicht.

Comments

$$0<\frac{n^2-1}{(n-1)!}=\frac{(n-1)(n+1)}{(n-1)(n-2)!}=\frac{n+1}{(n-2)!}=\frac{n(n+1)}{(n-2)!}\cdot\frac1n<\frac{(n-2)!}{(n-2)!}\cdot\frac1n=\frac1n\longrightarrow0.$$

Answer 1

Von n(n + 1) kommt man auf (n + 1)(n+2), indem man n(n + 1) mit \( \frac{n+2}{n} \) multipliziert. Von (n - 2)!  kommt man auf (n - 1)!  , indem man  mit (n-1) multipliziert.

Wenn du n-1>  \( \frac{n+2}{n} \) nachweisen kannst, ist der Induktionsschritt im Prinzip gegessen.

Answer 2

Du kannst den Induktionsschritt aus so zeigen:

$$ (n-1)!=(n-1)\cdot (n-2)! \stackrel{(IV)}{>} (n-1)\cdot n\cdot (n+1) \stackrel{n\geq 7}{>} (n+2)\cdot (n-1). $$

Es gilt nämlich sicherlich für alle n≥7: n*(n-1) > n+2, was du auch widerrum mit Induktion zeigen kann, was das Abschätzen von Ausdrücken nochmals übt.