Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes in cm pro Jahr soll im Folgenden durch die Funktion f mit f(x) = 90*0,87x modelliert werden, wobei x die Zeit in Jahren nach der Pflanzung angibt. Der Baum ist zum Zeitpunkt der Pflanzung 90cm hoch.
a) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von f und erläuteren sie die Bedeutung dieses Wertes.
b) Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Jahren.
c) Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit 50cm pro Jahr beträgt.
d) Geben sie eine Stammfunktion von f an.
e) Berechnen Sie mithilfe einer Stammfunktion das Integral von 0-10. Erläutern sie das Ergebnis im Kontext.
f) Berechnen Sie die Höhe des Baumes nach 20 Jahren.
g) Berechnen Sie die mittlere Wachstumsgeschwindkeit innerhalb der ersten 20 Jahre.
Ich habe folgende Ansätze:
a) Hier habe ich zuerst die Funktion mit e geschrieben also: 90*eln(0,87)*x und dann:
(1/2)*90 = 90*eln(0,87)*x --> die 90 kann man dann doch eigt wegfallen lassen oder? also würde es so weitergehen:
(1/2) = eln(0,87)*x
ln(1/2) = -0,14*x
\frac { ln\frac { 1 }{ 2 } }{ -0,14 } = x, also x = 4,95
b) Muss man hier für x einfach 10 einsetzen? Dann würde da ≈ 22,36 rauskommen, allerdings weiß ich nicht so ganz, was ich mit der Zahl anfangen soll.. heißt das der Baum ist im zehnten Jahr insgesamt 22,36cm gewachsen oder was genau sagt mir die Zahl?
c) Hier würde ich f(x) = 50 ausrechnen oder hab ich was übersehen, das ich anders machen muss?
e) Hier komme ich bei der Stelle nicht weiter, ich habe bereits die Zahlen soweit wie möglich zusammengefasst, allerdings weiß ich nicht wie ich das noch weiter zusammenfassen kann:
900*\frac { 1 }{ ln(0,87) } *0,25 - \frac { 1 }{ ln(0,87) } *1
f) Hier weiß ich gar nicht wie ich vorgehen soll..
g) \frac { f(20)-f(0) }{ 20-0 } stimmt der Ansatz?
