Eigenwerte, Eigenvektoren

Question

kann mir jemand diese Aufgabe erläutern? Ich kann die Schritte welche in der Lösung gemacht wurden nicht wirklich nachvollziehen.

Zu a) Das mit dem einsetzen weiß ich ja, aber was wurde danach gemacht?

zu b) ?

Lösungen

Ich danke schonmal vielmals

Comments

Ich finde deine Art zu Lernen sehr unproduktiv.

Das ist nicht die erste Aufgabe zu dem Thema, bei der du nach Erklärungen der Musterlösung fragst. Du scheinst aber auf diese Weise nicht viel mitzunehmen, überleg dir vielleicht dich lieber mit dem Thema auseinanderzusetzen, mag am Anfang ein wenig mühselig sein, aber die Ergebnisse und dein bisheriger Erfolg sollte eigentlich nur dafür sprechen.

Answer 1

Schau mal bei Wikipedia und rechne das dort angegebene Beispiel Schritt für Schritt mit. Dann lernst du das sicher. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem

Eigentlich ist das dort sehr gut erklärt.

Answer 2

bei a) scheint dein Problem - abgesehen vom Eigenwertproblem - auch darin zu bestehen, dass du das Berechnen der Determinante nicht verstehst.

(Man hätte diese 3x3-Determinante auch mit der "Sarrus-Regel" berechnen können). 

Diese und die in der Lösung angewendete Methode - die du für größere Determinanten sowieso kennen musst - ist hier sehr ausführlich erklärt:

http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf

Gruß Wolfgang

Answer 3

   Von mir der Hinweis, dass du das viel zu umständlich machst. Wir machen doch hier Geometrie; und in der Geometrie muss man ganz typisch etwas " sehen " Gleich Spalte 2 deiner Matrix ist Eigenvektor zum Eigenwert E3 = ( - 4 ) D.h. deine Matrix zerfällt in Blockform



    A  (  2  ;  1  )  =  A  (  2  ;  3  )  =  0     (  1  )



    Spalte 1 und 3 mischen nicht mit 2 . Damit verbleibt eine 2 X 2 Matrix als nicht triviales Problem.




      

                   - 4  - 4

    A  =          9    8        (  2  )

      Wie bestimmt man die Säkulardeterminante ( SD ) einer 2 X 2 Matrix? Das Lehrbuch beschreitet da gar seltsame Umwege. Gesucht ist das quadratische Polynom

      f  (  x  ;  A  )  :=  x  ²  -  p  x  +  q      (  3a  )

     dessen Wurzeln die beiden Eigenwerte E1 und E2 sind.  Satz von Vieta

      p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  A  )  =  4     (  3b  )

     q  =  E1  E2  =  det  (  A  )  =  4  (  -  8  +  9  )  =  4   (  3c  )

     f  (  x  ,  a  )  =  x  ²  -  4  x  +  4  =  (  x  -  2  )  ²    (  3d  )

     E1;2  =  2    (  3e  )

     Deine Begründung für Punkt c) dieser Aufgabe verpasst die Pointe. Wäre Matrix A ===> halb einfach bzw. der ===> Elementarteiler zu ( 3e ) linear, so müsste doch in ( 2 )

       A  =  2  *  1|       (  4  )

    d.h. A wäre die Einheitsmatrix.

    Bestimmung der Eigenvektoren:

       -  4  x  -  4  z  =  2  x  |  :  2    (  5a  )

     Kürzen ist wichtiger als selbst zusammen Fassen

           2  x  +  2  z  =  -  x  |  +  x     (  5a '  )

           3  x  +  2  z  =  0     (  5a "  )

           9  x  +  8  z  =  2  z  |  -  2  z    (  5b  )

           9  x  +  6  z  =  0  |  :  3    (  5b '  )  ===>  (  5a "  )

          v  (  2  )  =  (  2  |  -  3  )    (  6  )