Von mir der Hinweis, dass du das viel zu umständlich machst. Wir machen doch hier Geometrie; und in der Geometrie muss man ganz typisch etwas " sehen " Gleich Spalte 2 deiner Matrix ist Eigenvektor zum Eigenwert E3 = ( - 4 ) D.h. deine Matrix zerfällt in Blockform
A ( 2 ; 1 ) = A ( 2 ; 3 ) = 0 ( 1 )
Spalte 1 und 3 mischen nicht mit 2 . Damit verbleibt eine 2 X 2 Matrix als nicht triviales Problem.
- 4 - 4
A = 9 8 ( 2 )
Wie bestimmt man die Säkulardeterminante ( SD ) einer 2 X 2 Matrix? Das Lehrbuch beschreitet da gar seltsame Umwege. Gesucht ist das quadratische Polynom
f ( x ; A ) := x ² - p x + q ( 3a )
dessen Wurzeln die beiden Eigenwerte E1 und E2 sind. Satz von Vieta
p = E1 + E2 = Sp ( A ) = 4 ( 3b )
q = E1 E2 = det ( A ) = 4 ( - 8 + 9 ) = 4 ( 3c )
f ( x , a ) = x ² - 4 x + 4 = ( x - 2 ) ² ( 3d )
E1;2 = 2 ( 3e )
Deine Begründung für Punkt c) dieser Aufgabe verpasst die Pointe. Wäre Matrix A ===> halb einfach bzw. der ===> Elementarteiler zu ( 3e ) linear, so müsste doch in ( 2 )
A = 2 * 1| ( 4 )
d.h. A wäre die Einheitsmatrix.
Bestimmung der Eigenvektoren:
- 4 x - 4 z = 2 x | : 2 ( 5a )
Kürzen ist wichtiger als selbst zusammen Fassen
2 x + 2 z = - x | + x ( 5a ' )
3 x + 2 z = 0 ( 5a " )
9 x + 8 z = 2 z | - 2 z ( 5b )
9 x + 6 z = 0 | : 3 ( 5b ' ) ===> ( 5a " )
v ( 2 ) = ( 2 | - 3 ) ( 6 )