Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen bestimmen

Question

Hallo!

Aufgabe:  Ich soll die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen bestimmen.

Das habe ich auch getan, aber ich komme nicht auf das richtige Ergebnis. Wenn ich meine Lösung mit dem online Rechner vergleiche, dann stimmt‘s nicht ganz. Was ist hier falsch??

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Meine Lösung lautet:

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right) \)

Demzufolge lautet die Lösung EV= s* (-1 -1 -1), also da wo eine 0 ist, kommt  -1, richtig?

Nur kann ich nicht nachvollziehen, warum dieses Ergebnis nicht korrekt ist…

Answer 1

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&-1\\1&0&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\1&0&-1\\1&0&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

Für λ=0 fällt Zeile 3 raus - x3 freie Variable

Für λ=2 fallen Zeile 2/3 raus - x2,x3 freie Variablen

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}-x3&x3\\x3&x2\\x3&x3\\\end{array}\right)\)

==> \(\small EV \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\1&1&0\\1&0&1\\\end{array}\right)\)

Comments

Ich versteh' die Schritte bei lambda=2 nicht. Kannst du die Zwischenschritte vielleicht auch noch hochladen?

Und warum stimmt mein Ergebnis nicht?

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Ich seh da keine Zwischenschritte:

Die Spalte x2 durchgehend 0 => also x2 beliebig

Und die erste Zeile zu x1=x3 umstellen wirst Du schaffen?

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Ich habe die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben, in der 1.Zeile 1.Spalte kommt -1 statt 1. Wie lautet dann die Rechnung?

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Ich rechne mal die obige Aufgabe als Übung durch, obwohl hier -1 statt 1 stehen sollte..

Also ich hab das so gerechnet:

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \stackrel{z_{3}-z_{1}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \stackrel{z_{2}-z_{1}}{\longrightarrow} \)
\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \stackrel{z_{2} \rightarrow \frac{1}{2} z_{2}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
\( E V=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \)

Warum stimmt meine Berechnung nicht?

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Wo ist Dein λ in der vorangegangenen Rechnung?

| A- λ id| ist zu berechnen!

Bei weiteren Änderungen ;-)

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

also

A:= {{-1, 0,1}, {1, 2,-1}, {1,0,1}} , sicher?

dann

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-\sqrt{2}&\left(\begin{array}{rrr}-1 + \sqrt{2}&0&1\\1&2 + \sqrt{2}&-1\\1&0&1 + \sqrt{2}\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&\sqrt{2}&\left(\begin{array}{rrr}-1 - \sqrt{2}&0&1\\1&2 - \sqrt{2}&-1\\1&0&1 - \sqrt{2}\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}-3&0&1\\1&0&-1\\1&0&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

mit

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}x3 \; \left(-\sqrt{2} - 1 \right)&x3 \; \left(\sqrt{2} - 1 \right)&0\\x3&x3&x2\\x3&x3&0\\\end{array}\right)\)

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Ich bin mir echt am überlegen, welche Aufgabenstellung die richtige ist…

Ich habe sie in der VO abgeschrieben, es kann wirklich sein, dass ich mich verschrieben habe. Daher lasse ich die Aufgabe so stehen, also ich rechne mit 1 und nicht mit -1. Denn das wäre ja viel zu kompliziert.

Also nochmal meine Frage: Warum ist meine Berechnung falsch?

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \stackrel{z_{3}-z_{1}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \stackrel{z_{2}-z_{1}}{\longrightarrow} \)
\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \stackrel{z_{2} \rightarrow \frac{1}{2} z_{2}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
\( E V=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \)

Ps: Ich hab‘ die Anfangsschritte weggelassen, habe direkt Lambada= 2 in die Ausgangsmatrix eingesetzt.

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Weil sie nicht zur Aufgabenstellung passt:

>Wo ist Dein λ in der vorangegangenen Rechnung?<
>| A- λ id| ist zu berechnen!<

>Ps: Ich hab‘ die Anfangsschritte weggelassen, habe direkt Lambada= 2 in die Ausgangsmatrix eingesetzt.<

das sieht aber nicht da nach aus:

Kontrolliere, welche Aufgabe auch immer, mit meinen Angaben zu λ=2

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Warte ich poste die vollständige Rechnung. Einen Moment…

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Ach, jetzt fällt mir auf Du redest von λ=0 und da sind wir ja einer Meinung*(-1) - das verträgt eine Basis...

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Ja genau :)

Also hier die Rechnung. Genau so sind wir immer vorgegangen. Daher wäre es mir lieber, wenn ich mich an dem Rechenweg vom Prof. orientiere.

\( (1-\lambda)(2-\lambda) \cdot(1-\lambda)+0 \cdot(-1) \cdot 1+101 \cdot 0- \)
\( 1 \cdot(2-\lambda) \cdot 1,-0 \cdot(-1) \cdot(1-\lambda)-(1-\lambda) \cdot 1 \cdot 0= \)
\( (2-\lambda) \cdot(1-\lambda)^{2}-(2-\lambda)= \)
\( =(2-\lambda) \cdot\left(\lambda-2 \lambda+\lambda^{2}\right)-2+\lambda=0 \)
\( 2-4 \lambda+2 \lambda^{2}-\lambda+2 \lambda^{2}-\lambda^{3}-2+\lambda=0 \)
\( -\lambda^{3}+4 \lambda^{2}-4 \lambda=0 \)
\( \lambda^{3}-4 \lambda^{2}+4 \lambda=0 \)
\(  \lambda \cdot\left(\lambda^{2}-4 \lambda+4\right)=0 \)
\( \lambda=0 \) und \( \lambda^{2}-4 \lambda+4=0 \)
\( \lambda=2 \)

\( \lambda=0 \)
\( \left(\begin{array}{ccc}1-0 & 0 & 1 \\ 1 & 2-0 & -1 \\ 1 & 0 & 1-0\end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \)
\( \stackrel{z_{3}-z_{1}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \stackrel{z_{2}-z_{1}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
\( \stackrel{\frac{1}{2} z_{2}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Longrightarrow E V=s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \)
\( \lambda=2 \)
\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right) \stackrel{z_{3}-z_{2}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \stackrel{z_{2}+z_{1}}{\longrightarrow} \)
\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=? \)

Ich versteh‘ eben nicht, was hier falsch ist bzw. Warum kann ich das so nicht rechnen?

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λ=0 v₁ ist ja OK!

λ=2 ist auch OK

==> x1=x3 ==> v₂=(1,0,1), x2 beliebig ==> v₃=(0,1,0)

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Ich versteh' eben nicht wie du auf den EV v2=(1,0,1) kommst und auf (0,1,0)

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EV sind doch (1, -1, -1) oder auch (-1,1,1) und (1,0,-1) oder (-1,0,1)

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Nach dem für λ=2 eine Gleichung übrig bleibt haben wir 2 freie Variablen, z.B. x3,x2

d.h. geometrische Vielfachheit = 2,

d.h. 2 Eigenvektoren,

d.h. Dim Eigenraum = 2

das ist auch gut so, sonst nix Diagonalisierung

ein Eigenvektor mit z.B. x3=1 und x2=0

und

ein Eigenvektor mit z.B. x3=0 und x2=1

um möglichst übersichtlich zu bleiben

Ergebnis in meiner Antwort oben:

EW^-1 A EW = diag(0,2,2)

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Aber was sind diese x3=1 und x2=0 ?? Von wo kommen die?

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Freie Varablen sind freie Varablen beliebig, du darfst sie (fast) beliebig festlegen - der Einfachkeit halber wählen wir 0,1 und 1,0 - wichtig ist, das der Eigenraum aus 2 Vektoren aufgespannt wird (deshalb fast)!

Mach Dir das geometrisch klar - Du hast eine Gleichung, eine Ebene im R³ übrig und brauchst 2 Vektoren als Basis aus der Ebene! So lang die linear unabhängig gewählt werden ist alles im Lot.

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Alles klar, aber was noch unklar ist:

Die EV sind schon (1 -1 -1) und (1 0 -1), oder? Ich habs ja oben ausgerechnet. Die Rechnung passt so, oder?

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Die Eigenvektoren stehen als Matrix EV bereits im ersten Post..

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Ich bin doch ein wenig verwirrt, ich zerbreche mir schon den ganzen Tag den Kopf darüber. Ich hab das mit den freien Variablen noch nicht durchblickt...

Tut mir echt leid, aber ich wills wirklich verstehen

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Ist Dir jetzt klar, das unter λ=2 die Gleichung

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\1&0&-1\\1&0&-1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\to \left(\begin{array}{r}-x1 + 0 x2 + x3\\x1+0 x2 - x3\\x1 + 0 x2 - x3\\\end{array}\right) = 0 = \)

x1-x3=0

 

übrig bleibt

x1=x3 ==_x3=1==> v2=(1,0,1)

und

0 x2 = 0 ∀_x2==_x2=1==> v3=(0,1,0)

Grundsatzaufgabe: mache aus einer Normalenform eine Parameterform der Ebene!

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Aber wir sind nie so vorgegangen. Ich will nur verstehen, warum meine Eigenvektoren falsch sind. Ich checks immer noch nicht...

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Dein EV zu EW 0 stimmt doch und zum doppelten EW 2 hast noch nix gezeigt..

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Ich meine mein EV zum EW 2, warum stimmt dieser nicht?

Bzw. wie finde ich den EV zum EW 2? Diesen Schritt habe ich noch nicht durchblickt

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Zu EW=2 finden sich ZWEI Eigenvektoren und wie Du die findest hab ich dir wiederholt vorgerechnet, in Wort und Zahl und Bild.

und Deine Rechnung bis

\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow E V=? \)

dahin stimmt auch - nun mußt Du nur noch richtig ablesen lernen!

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Ich versteh das mit den Variablen x1, x2, x3 nicht. Das will mir einfach noch nicht einleuchten... sry

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Was liest Du denn aus dem vor dem Fragezeichen stehende LGS ab?

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Ich hoffe, dass ich es jetzt hinkriege.

Ich lese 1 0 -1 ab.

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Nein, du liest wie oben bereits dagelegt

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\to -x1 + 0 x2 + x3  = 0  \)

und da wir nur eine Gleichung haben bleiben z.B. x2,x3 unbestimmt

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Dann ist x1=x3 und wie geht es dann weiter?

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Also x1= -1, da in der 1.Zeile und 1.Spalte die Zahl -1 ist und x3=1, da in der 1.Zeile und in der 3.Spalte die Zahl 1 vorkommt. Aber wir haben ja gesagt, dass x1=x3 ist. Kann ich mir dann aussuchen, ob die beiden -1 sind oder +1?

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Du hast x2 nicht beachtet,

-x1 + 0 x2 + x3 = 0 

x2, x3 unbestimmt meinentwegen x2=t x3=s

siehe oben bei dem Bild...

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Okay, ich fange mal von vorne an: Warum sind x2 und x3 unbestimmt?

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Weil wir 3 Unbekannte x1,x2,x3 haben aber nur eine Gleichung

-x1 + 0 x2 + x3 = 0

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und warum ist -x1 nicht unbestimmt? also warum sind nur x2 und x3 unbestimmt?

Tut mir leid, falls die fragen dumm sind, aber ich will die Aufgabe endlich verstehen

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das bietet sich an, ist aber nicht zwingend. sicher ist, mit einer gleichung kann eine der drei variablen berechnet werden, also

x1 = x3 + 0x2

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Okay, wie kommt man von dem nun auf die EV?

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Okay, ich glaube ich habe das ganze fast durchblickt:

x3 und x2 sind frei wählbar

Bei I: -x1 + 0x2 +x3= 0 → x1=x3

Da x3 und x2 frei wählbar sind, wähle ich die Zahl 1, daher ist (x1 x2 x3)= (1 1 1) oderich kann auch (1 0 1) wählen oder (2 2 2). Stimmt der gedankengang??

Oder kannst du mir schrittweise noch einmal mit einfachen Worten erklären, wie man auf die Eigenvektoren kommt? Vielleich versteh' ich's dann.

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wir betrachten koordinaten vektoren,d.h wir bewegen uns auf 3 koordinaten achsen (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

(x1,x2,x3) = x1 (1,0,0)+x2 (0,1,0)+x3 (0,0,1)

wir haben EINE einschränkung

-x1 + 0x2 +x3= 0 ==>

(x1,x2,x3)=x1 (1,0,0)+ x2 (0,1,0)+x3 (0,0,0)

x1=x3 ==>

(x1,x2,x3)=x3 (1,0,0)+ x2 (0,1,0)+x3 (0,0,1)

und damit bleiben noch ZWEI bewegungsachsen übrig

(x1,x2,x3)= x2 (0,1,0)+x3 (1,0,1)

wir haben damit die (0,1,0) Achse und eine Achse (1,0,1)  - das sind unsere eigenvektoren!

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Achsoo, so langsam komme ich rein. Um zu überprüfen, ob ich das wirklich verstanden habe. Wenn wir beispielsweise so eine Matrix hätten:

\( \left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

x1-x2+0x3=0

x1=x2

x2(1 0 0) + x2(0 1 0) + 0x3(0 0 1)

x2 (1 1 0) + x3 (0 0 1), dann hätten wir zwei Eigenvektoren und zwar (1 1 0) und (0 0 1).

Und wenn wir so eine Matrix hätten:

\( \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

x1+0x2+x3=0

x1=-x3

-x3(1 0 0) + 0x2(0 1 0) + x3(0 0 1) = x3(-1 0 1) + 0x2(0 1 0)

Somit hätten wir (-1 0 1) und (0 1 0) als Eigenvektoren

Stimmt dieser Gedankengang?

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Ich glaube jetzt hast du's

noch ein beispiel

\(\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

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Die EV sind (2 -1 0) bzw. (-2 1 0) und (1 0 -1) bzw. (-1 0 1) ?

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sehr gut, sind wir jetzt durch?

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Könnten wir noch ein (letztes) Beispiel durchgehen?

Wenn wir sowas hätten:

\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \)

Dann wäre nur (2 -1 0) bzw. (-2 1 0) der EV, oder?

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Yep, das passt auch!

Genauer, jedes vielfache des Vektors.

Und im 2 Dim Fall jedes linear unabhängige Paar das aus den Basisvektoren gebildet wird...

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Alles klar, vielen vielen Dank für deine Erkärungen. Und vielen Dank für deine Zeit und Geduld Wächter!!

Ich werde noch weitere Beispiele üben und bei Unklarheiten hier im Forum meine Fragen stellen.

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OK, Dank für die Rückmeldung und viel Erfolg.

Zur Überprüfung Deiner Übungen

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

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Ich schaff das mit dem Eintippen in Geogebra nicht. Das ist mir viel zu kompliziert. Matrizen mutliplizieren bzw addieren schaff och noch, aber den Rest kann ich nicht.

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Nun, mehr wie Matrizen eintippen

z.B. A:={{  2, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, 0}, {0, 1, 1, 3}, {0, 0, 1, 1}}

oder einkopieren (copy&paste) muß Du ja auch nicht können...

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Ja das habe ich auch gemacht, aber was genau muss ich eingeben, damit ich auf die EW bzw EV komme?

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Die Rechnung läuft durch bis zur Eigenvektorbasis

D=T^-1 A T

und da wo Eigenwerte draufsteht sind auch Eigenwerte drin, da wo EVi steht stecken die Eigenvektoren drin.

Wenn die Zwischenschritte nicht interessieren gibt es auch im CAS

Eigenvalues( <Matrix> )

Eigenvectors( <Matrix> )

JordanDiagonalization( <Matrix> )

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Wenn ich die Matrix eingetippt habe, muss ich dann in die Nächste Zeile Eigenvektor eintippen und die Matrix in die Klammer einfügen??

Bin grad voll verwirrt

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Wir reden schon von der verlinkten App?

Dich kann man aber leicht verwirren ;-?

Schau Dir halt erstmal das vorliegende Beispiel an und lies die Einleitung dazu!

Neue Matrix eingeben

Statt Entf was immer zum Löschen von Text auf Deiner Tastatur vorhanden ist.Du darfst auch gerne eine Matrix eintippen unter Beibehaltung des oben dargestellten Matrix Musters....

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Ich habe gerade Geogebra classic offen.

Ich hab die Matrix nun eingegeben. Was muss ich als nächstes machen um auf den EV zu kommen?

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Also blankes Classic CAS?

Eigenvalues( <Matrix> )

Eigenvectors( <Matrix> )

JordanDiagonalization( <Matrix> )

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Ja genau.

Okay, wenn ich Eigenwerte eingebe und dann die Matrix, passiert aber nichts. Ich drücke auf enter und es passiert nichts..

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Würde mich wundern..

A:={{  2, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, 0}, {0, 1, 1, 3}, {0, 0, 1, 1}}

Eigenvalues( A )

Eigenvectors( A )

JordanDiagonalization( A )

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Aber wenn ich bei CAS A:= ... eintippe, passiert wieder nichts, da kommt immer ein Fragezeichen.

Ich würde gerne diese Matrix eingeben:

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & -4 \\ -2 & -1 & -4 \\ 2 & 4 & 7\end{array}\right) \)

Und sry, dass ständig irgendwelche Unklarheiten auftreten.

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A:={{1,-4,-4},{-2,-1,-4},{2,4,7}}

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Okay, es hat jetzt irgendwie funktioniert, aber da kommen nicht die exakten EV raus, da kommt bei EV eine Matrix raus, was sehr komisch ist.

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Naja, Du wollest doch die Eigenvektoren, jetzt hast Du den Salat ;-)

Eigenvalues(A)

→{3, 3, 1}

Eigenvectors(A)

\(\to \small \left(\begin{array}{rrrr}2&0&1\\0&2&1\\-1&-2&-1\\EV_{λ=3}&EV_{λ=3}&EV_{λ=1} \end{array}\right)\)

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Achsooo, so ist das gemeint.

Aber wenn ich das händisch berechne, dann kommt für lmbda=3 die EV (2 0 -1) und (2 -1 0) raus. Und wenn ich bei beiden die Probe mache, dann stimmt's. Warum haben wir bei Geogebra den EV (0 2 -2) ??

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https://www.mathelounge.de/992533/eigenwerte-und-eigenvektoren-folgender-matrizen-bestimmen?show=992843#c992843

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Ehrlich gesagt, versteh ich das leider noch nicht.

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Deine Aufmerksamkeitsspanne ist aber extrem kurz, sei mir net bös.

Weiter oben haben wir herausgearbeitet, das die Eigenvektoren von der Wahl der unbestimmten Variablen abhängig sind und das auch linear unabhängige Vektoren die aus den Basisvektoren eines Eigenraumes gebildet werden als Eigenvektoren taugen.

Außerdem läßt sich ganz einfach nachprüfen ob ein Vektor auch Eigenvektor ist! Tu das, wenn Du unsicher bist!

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Ich hab‘s ja überprüpft und meine EV stimmen. Ich versteh nicht von wo der EV (0 2 -2) kommt.