Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen berechen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren folgender Matrizen:

\( A:=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{array}\right) \quad B:=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \end{array}\right) \)

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Deine Resultate kannst du problemlos selbst überprüfen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%282%2C1%29%2C%284%2C-1%29%29

Rechenweg: Vielleicht schaust du bei der Rubrik ähnliche Aufgaben mal rein.

Answer 1

DET([2 - k, 1; 4, -1 - k]) = k^2 - k - 6 = (k + 2)·(k - 3)

Eigenwerte -2 und 3

[4, 1; 4, 1] * [a; b] = [0; 0]
4a + b = 0
b = -4a

Eigenvektoren zum Eigenwert -2 [1; -4]

[-1, 1; 4, -4] * [a; b] = [0; 0]
-a + b = 0
b = a

Eigenvektoren zum Eigenwert 3 [1; 1]

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%2C2%2C3%29%2C%282%2C-4%2C-2%29%2C%283%2C-2%2C1%29%29

- x^3 - 2·x^2 + 24·x = x·(4 - x)·(x + 6) = 0

Eigenwerte 0, 4 und -6

Eigenvektoren laut Wolframalpha

[-1, -1, 1], [1, 0, 1] und [-1, 2, 1]

Answer 2

       Beispiel A ; ich wiederhole mich. Es spricht sich einfach nicht herum. WIE berechnet man rationell die Säkulardeterminante einer 2 X 2 Matrix? Ansatz

 

     f ( x ; A ) = x ² - p x + q = 0   ( 1 )

 

        Koeffizienten p und q aus dem Satz von Vieta

 

       p = E1 + E2 = Sp ( A ) = 1    ( 2a )

       q = E1 E2 = det ( A ) = ( - 6 )   ( 2b )

      f ( x ; A )  =  x ² -  x  - 6 = 0    ( 2c )

 

      Nein; das machen wir jetzt nicht mit der Mitternachtsformel, sondern richtig Zahlen theoretisch. Gehen wir mal aus von einer quadratischen Gleichung, und zwar in primitiver Darstellung:

 

        f ( x ) € |Z [ x ]  :=  a2 x ² + a1 x + a0 = 0   ( 3a )

 

       Jetzt stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder ( 3a ) ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt in zwei rationale Liearfaktoren

 

      E1;2 :=  p1;2 / q1;2 € |Q    ( 3b )

 

     (   Ihr habt ja alle aufgepasst in der Algebravorlesung; und deshalb wisst ihr das. )

     Schaut mal, was Pappi alles weiß.

 

      https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

 

         ( Deshalb kennen das eure Professoren ja nicht, weil es von Gauß stammt, haha. )

        ( WARUM ist Wurzel 2 irrational??? )

         Unmittelbar nachdem mir der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) bekannt wurde, stellte ich zwei pq-Formeln auf; genauer: eine p-Formel so wie eine q-Formel.  In der Notation ( 2c;3ab ) lauten sie

 

          p1 p2 = a0 = ( - 6 )    ( 3c )

         q1 q2 = a2 = 1   ( 3d )

 

     Die 6 besitzt zwei Zerlegungen; die triviale 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3  Hinreichende Probe ist immer der Vieta ( 2a )

 

         | E1 |  = 1  ;  | E2 |  =  6  ;  | p |  =  5   ( 4a )

         | E1 |  = 2  ;  | E2 |  =  3  ;  | p |  =  1   ( 4b )   ; okay

 

      Jetzt noch das vorzeichen richtig rum drehen - fertig ist die Laube.

      Gauß war ein Genie; ist DAS glaubhaft, dass ihm die Bedeutung dieser pq-Formeln nicht klar gewesen sein sollte? Dass absolut niemand in den letzten 200 Jahren auf diesen Einfall kam? Völlig abwegig.

    Der SRN wurde erst vor wenigen Jahren von einem Hobbymatematiker gefunden, der es in seinem Internetportal veröffentlichte - so wird es wohl gewesen sein.

So fällt denn die Einsilbigkeit der Wikidiktion ins Auge; Zusammenhänge mit anderen, tiefer liegenden Erkenntnissen scheint Wiki nicht zu kennen.

    Historisch scheinen diese Zweifel durchaus plausibel. Bekanntlich beschäftigte sich Gauß mit der Kreisteilungsgleichung und verfügte - makaber genug - der sinus des 17-Ecks sei in seinen Grabstein einzumeißeln. 

Comments

  Ich musste wegen diesem Bug abschicken, weil er schon wieder sagte, max 8 000 Zeichen. Warum beschäftigte sich Gauß mit der Kreisteilungsgleichung? Er wird wohl davon geträumt haben, die Quadratur des Kreises zu schaffen  ... an diophantischen Problemen war er wohl weniger intressiert.
   Und jetzt zu B


      
       1  2 3
       2 -4 2    =:  B   ( 2.1a )
       3 -2 1



       Hier ihr müsstet mehr ===> Elementarteiler lernen; jede Matrix befriedigt ihre eigene Säkulardeterminante. D.h. ich besorge mir mit einem Online Matrixrechner die Potenzen  B ² so wie B ³  . Einen ganz edlen hab ich sogar gefunden, der mir erlaubt, die Ergebnismatrix einfach hier in dieses Forum rüber zu ziehen:



                    14    -12    10
                     0     16     0        = B ²   ( 2.1b )
                    2     12     6






                       20     56    28
                       32    -64    32            =  B ³    ( 2.1c )
                      44    -56    36



        f ( x ; B )  =   x ³ + a2 x ² + a1 x + a0   ( 2.2a )

       f ( E ; B )  =   E ³ + a2 E ² + a1 E + a0 = 0  ( 2.2b )

       f ( B ; B )  =   B ³ + a2 B ² + a1 B + a0  * 1|  = 0  ( 2.2c )


 
   Ich entscheide mich für das Matrixelememt ( 2;1 ) weil dann der Beitrag von  B ²  heraus fällt.


 
           B ³  (  2;1 )   +  a1 B   (  2;1 )  =  0   ===> a1 = ( - 16 )     ( 2.3a )

    
     Analog für Matrixelement ( 1;3 )      


      28 + 10 a2 + 3 a1 = 0   ===> a2 = 2   ( 2.3b )


    Ist ( 2.3b ) plausibel? Ja; Satz von Vieta


     a2 = - ( E1 + E2 + E3 ) = - Sp ( B )   ( 2.4 )


    ( Probe auf alle Nebendiagonalelemente ( NDE ) ! )  Jetzt noch a0



        B ³  ( 1 ; 1 )  + a2 B ² ( 1 ; 1 )  + a1 B ( 1 ; 1 )  + a0  = 0  ===> a0 = ( - 32 )    ( 2.5a )



    Erneut rechtfertigen wir   ( 2.5a ) mittels Vieta:


     a0   =  - E1 E2 E3  =  - det  ( B )   ( 2.5b  )


    Nein Mathecoach; du hast dich verhauen. Die Ergebnisse sind mit dem Online Rechner gegen gerechnet:


http://matrixcalc.org/de/#diagonalize%28{{1,2,3},{2,-4,2},{3,-2,1}}%29


     f ( x ; B ) = x ³  + 2 x ²  -  16 x   -  32   = 0   ( 2.6 )


   Lösungsansatz; wir unterstellen mal ganz frech, dass ( 2.6 ) vollständig zerfällt.   Dann müssten wir sämtliche Zerlefgungen  des Absolutgliedes 32 raten. doch Rettung naht;  ggt  E1;2;3 = 2 . Woher weiß ich jetzt das wieder?
   Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Vieta von ( 2.6 )


    m  |  E1;2;3 <===>  m |  a2  ;  m  ²  |  a1 ;  |  m ³  |  a0   (  2.7a )


    Ein m , das die rechte Seite von ( 2.7a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms  ( 2.6 ) heißen.   Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; unsere Behauptung


    ggt  E1;2;3  =  gkt ( f )   ( 2.7b )


   Wer immer glaubt, dass der " Teilerfürst " Gauß den SRN entdeckt hat, hat zu begründen, warum er nicht über den gkt nachgegrübelt hat ...  - mein zweites schwer wiegendes Indiz.
   Genau so, wie man Brüche kürzen kann, so lassen sich auch Pülynome kürzen durch ihren gkt . Dies geschieht vermöge der Substitution



     x := u * gkt ( f ) = 2 u   ( 2.7c )

    f ( u ) = ( 2 u ) ³  + 2 ( 2 u ) ²  -  4 * 2 ² ( 2 u )  -  4 * 2 ³  =  (  2.8a )

             = 2 ³  (  u ³  + u ²  - 4 u - 4 )   (  ( 2.8b )

            =  u ²  (  u + 1  )  -  4 ( u + 1 )  =  ( 2.8c  )

            =  ( u + 2 ) ( u + 1 )  ( u - 2 )